[工学]第一章 静电场一.ppt

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1、工学工学第一章第一章 静电场一静电场一 静电场：静电场： 相对相对观察者观察者静止且量值不随时间变化的静止且量值不随时间变化的电荷电荷所产生的电所产生的电场。场。 本章任务：本章任务： 阐述阐述静电荷与电场静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法。下求解电场的各种计算方法。 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到在一定条件下可类比推广到恒定电场恒定电场, ,恒定磁场及时变场恒定磁场及时变场。 电场的物质性：电场的物质性： a. 给电场中的给电场中

2、的带电体带电体施以力的作用。施以力的作用。 b. 带电体在电场中移动时，电场力带电体在电场中移动时，电场力作功作功，表明电场具有，表明电场具有能量能量。 c. 变化的电场以变化的电场以光速光速在空间传播，在空间传播，表明电场具有表明电场具有动量动量。概述概述基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE 的旋度E E 的散度基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（ ）边界条件数值法有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力静电场知识结构图静电场知识结构图21202121R4qqeFN( ( 牛顿牛顿) )1221FF适用条件适用条

3、件 两个可视为两个可视为点电荷点电荷的带电体之间相互作用力的带电体之间相互作用力; ; 无限大真空情况无限大真空情况 ( (式中式中可推广到可推广到无限大各向同性均匀介质无限大各向同性均匀介质中中1291085. 836100F/m) )(022102112R4qqeFN( ( 牛顿牛顿) )图图1.1.1 1.1.1 两点电荷间的作用力两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的库仑定律是静电现象的基本实验定律基本实验定律。大量试验表明。大量试验表明: : 真空真空中两个静止中两个静止的点电荷的点电荷 与与 之间的相互作用力之间的相互作用力: :2q1q 当真空中引入第三个点电荷当真空中引入第三

4、个点电荷 时，试问时，试问 与与 相互间的作用力相互间的作用力改变吗改变吗? ? 3q1q2q实验表明：实验表明：库仑力满足线性叠加原理，即不因第三者的存在而改变两库仑力满足线性叠加原理，即不因第三者的存在而改变两者之间的相互作用。者之间的相互作用。库仑定律库仑定律1.1 电场与电场强度电场与电场强度 电场强度电场强度1 1、定义：、定义： t0qq)z,y,x()z,y,x(limtFEV/m (N/C) 电场强度（电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正点电荷在电表示单位正点电荷在电场中所受到的力场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数它是空间

5、坐标的矢量函数, 定义式给出了定义式给出了E 的的大小大小、方向方向与与单位单位。点电荷产生的电场点电荷产生的电场单个点电荷产生的电场强度单个点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/m图图1.1.2 点电荷的电场点电荷的电场4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV/m “力”服从叠加原理。 电场强度是单位正点电荷所受的电场力。显然，在媒质电容率与场强无关的情况下(称这种媒质为线性的)，电场强度亦服从叠加原理。niiniiniiEqFqFE1111.2 电场的叠加原理电场的叠加原理 电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各电场中任何一点的总场强等

6、于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理叠加原理。 N个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度 (注意：矢量叠加注意：矢量叠加)kN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrEV/m 因而在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的因而在由若干个点电荷共同激发的电场中，任一点的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度，等于每一个点电荷单独存在时，该点所具有的电场强度的矢量和电场强度的矢量和(矢量叠加矢量叠加)。电荷任意分布时的电场强度电荷任意分布时的电场强度计算方法：计算方法：将带电体分成很多元电荷将

7、带电体分成很多元电荷 dq ,先求出它在先求出它在任意场点任意场点 p 的场强的场强rrdqEd4120Eddqr对场源求积分，可得总场强：对场源求积分，可得总场强：rrdqEdE41202、电荷的面密度、电荷的面密度0limSqdqSdS 1、电荷的线密度、电荷的线密度0limlqdqldl 面电荷分布的场强面电荷分布的场强204SdSErr线电荷分布的场强线电荷分布的场强204ldlErr3、电荷的体密度、电荷的体密度0limVqdqVdV 体电荷分布的场强体电荷分布的场强204VdVErr解：解：建立一直角坐标系，令z轴通过带电直线，坐标原点o重合于带电直线的中点。由于电场对带电直线作轴

8、对称分布，因此研究坐标平面xoz上的电场分布具有普遍性。 取圆柱坐标系0的半平面上任一点P，令其圆柱坐标为(r，o，z)，此点即在平面xoz上。 r平行于x轴例例1-1 真空中长度为2L的均匀带电直线，它所带的电荷量为q，试确定直线外任一点处的电场强度。思路：单位长度线电荷的积分。 带电直线的电荷量q在长度2L上均匀分布，线电荷密度为 注意到各线电荷元dq=dl在场点P处场强 的方向是不同的。因此，一般总是先求出每一矢量 在各坐标轴上的分量，把矢量之和转化为各坐标分量的代数和，或是把矢量积分转化为标量积分。 设场强 的z轴分量为dEz，径向分量为dEr，则有式中的l、R、对于不同的线电荷元都是

9、变量，但它们是有联系的，可统一用一个变量来表示Lq2sin4sin,cos4cos2020RdldEdERdldEdErzdrdlrctgzlrR2csc,cscEdEdEd因而点P处场强的z轴分量Ez为 场强的径向分量Er为 式中：r为场点到带电直线的距离；1和2分别是带电直线的两端点到场点的矢径方向与正z轴方向之间的夹角。)cos(cos4sincsc4csc21020221rdrrdEELLrr)sin(sin4coscsc4csc12020221rdrrdEELLzz 可以进一步看到，当L，即带电直线为无限长直线时，有10,2。这时，由计算结果可以得到：即电场强度只有径向分量。 经过计

10、算，当场点到带电直线的距离较之到直线两端的距离小得多时( )，运用无限长带电直线的场强计算公式求解该点场强，可以获得足够精确的结果。同样，经过计算，在远离长度为2L的带电直线处( )的电场强度，相当于全部电荷量q集中在直线中点处的点电荷所产生的电场强度。rEErz02, 0LzLr,1/, 1/zLrLpSNpE)()( 正确的选择正确的选择 可以使密度等于场强。可以使密度等于场强。N1 定义：定义：电力线电力线(electric line of force)电力线上各点的电力线上各点的切线方向切线方向表示电场中表示电场中该点场强的方向该点场强的方向，在垂直于电力线的单位面积上的电力线的条数（

11、在垂直于电力线的单位面积上的电力线的条数（数密度数密度)正比于该点的正比于该点的场强的大小场强的大小。2 电力线的性质：电力线的性质：电力线不会中断。电力线不会中断。电力线不会相交。（单值）电力线不会相交。（单值）电力线不会形成闭合曲线，电力线不会形成闭合曲线，它起始于正电荷终止于负电荷。它起始于正电荷终止于负电荷。1.3 电力线和通量电力线和通量+-地面上点电荷的电场线地面上点电荷的电场线电场强度的通量电场强度的通量1 1 定义：定义：电场强度E E沿任意有向曲面S S的曲面积分，定义为通过该曲面S S的正向场强通量。ESE dSS S为闭合曲面时：为闭合曲面时：ESE dS2 方向的规定方

12、向的规定： 闭合曲面外法线方向闭合曲面外法线方向(自内向外自内向外) 为正。为正。 非闭合曲面的边界绕行方向与法向成非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则右手螺旋法则n0ed0ed0ed1、高斯定理、高斯定理(Gauss Theorem):静电场中，当媒质为真空时，通过任静电场中，当媒质为真空时，通过任一闭合曲面一闭合曲面 S 的电场强度通量，等于该曲面所包含的电荷的代数和的电场强度通量，等于该曲面所包含的电荷的代数和与真空电容率与真空电容率0之比。之比。iinsideiSqSdE,012、说明：、说明：E 高斯定理中的场强高斯定理中的场强 是由是由全部电荷全部电荷产生的。产生的。 通过

13、闭合曲面的通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷电通量只决定于它所包含的电荷，闭合曲面，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。外的电荷对电通量无贡献。 静电场是静电场是有源场有源场。真空中的高斯通量定理真空中的高斯通量定理1.4 真空中的高斯通量定理真空中的高斯通量定理附对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定理等价附对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定理等价。高斯定理的用途高斯定理的用途当电荷分布具有当电荷分布具有某种对称性某种对称性时，可用高斯定理求时，可用高斯定理求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。 当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一

14、区域当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域 的电荷、电位分布。的电荷、电位分布。卡文迪许就是用高斯定理来证明库仑定律的平方卡文迪许就是用高斯定理来证明库仑定律的平方 反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律。客观规律。对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定理仍然有效。而高斯定理仍然有效。思考：思考：试分析图中球体内外的电场能否直接采试分析图中球体内外的电场能否直接采用高斯定理来求解？用高斯定理来求解？点电荷

15、点电荷q置于金属球壳内置于金属球壳内任意位置的电场任意位置的电场点电荷点电荷q分别置于金属球壳分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场内的中心处与球壳外的电场例例1-2 真空中同心球面内均匀分布着体积电荷，电荷体密度为，同心球面内外半径分别为R1、R2。试求球层内外的电场强度。R1 R2 R R1 R R2例例1-3 真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为R2，电荷，电荷体密度为常数体密度为常数，球内存在一个半径为，球内存在一个半径为R1的球形空腔，两球心的的球形空腔，两球心的距离为距离为a，且，且a+R1R2。试证明球形空腔内的电场是均匀的。试证明球

16、形空腔内的电场是均匀的。a aR2O1O2R1 电介质电介质在外电场在外电场E作用作用下发生下发生极化极化，形成有向排列的电偶极矩；，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向的方向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。pV用用极化强度极化强度P P表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度电偶极矩体密度无极性分子(He.CO2,H2)有极性分

17、子(HCl,H2O,CO)1 1、电介质的极化、电介质的极化1.5 电介质中的高斯通量定理电介质中的高斯通量定理均匀均匀：媒质参数不随空间坐标：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。而变化。各向同性各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变：媒质的特性不随电场的方向而改变, ,反之称为各向异性；反之称为各向异性；线性线性：媒质的参数不随电场的值而变化；：媒质的参数不随电场的值而变化；2 2、极化电荷与极化强度的关系、极化电荷与极化强度的关系3 3、静电场的源、静电场的源 自由电荷自由电荷q和极化电荷和极化电荷q电介质电介质自由电荷自由电荷q真空真空场源场源介质介质SdqsP曲面曲面S S内的

18、极化电荷量：内的极化电荷量：kai介质中的高斯定理介质中的高斯定理推广推广整理整理设设0DEP说明：说明：1、D称为电位移矢量2、介质中的高斯定理、介质中的高斯定理： 电场中，通过某闭合曲面S的电位移矢量D的通量，等于该闭合曲面内所包含的自由电荷的代数和。真空中真空中iinsideiSqd,01SESdqsP电介质中电介质中SiinsidiSdqdsPsE,010,iSinsid idqEPsiinsidiSqd,sD其中相对介电常数；介电常数，单位（F/m）er1 EEEEEPED0re00e001)(2 2、在各向同性介质中、在各向同性介质中1 1、D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电

19、荷。线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。1S1dSD( )2S2dSD( )2321r4qDDD( )qq3 3、D 的通量与介质无关，但不能认为的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。的分布与介质无关。 D 通量只取决于高斯面内的自由通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。内、外的系统所有电荷共同产生的。D线说明线说明D线、线、E线、线、P线分布线分布图示平行板电容器中放入一块介质后，其图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、线、E 线和线和P 线的分布。线的分布。 D 线由正的自由电荷发出，

20、终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？ED线E线P线思考：例例1-4 一单芯电缆其芯线半径一单芯电缆其芯线半径R1=0.5cm，外面金属包皮的内半，外面金属包皮的内半径为径为R2=2cm，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的电荷量为电荷量为=

21、5.5610-7C/m。若芯线外面紧包一层相对电容率。若芯线外面紧包一层相对电容率为为r1=5的固体介质，其外半径为的固体介质，其外半径为R0=1.25cm；而固体介质之外；而固体介质之外充满相对电容率为充满相对电容率为r2= 2.5的绝缘油。求电缆内电场强度的绝缘油。求电缆内电场强度E的分的分布以及介质交界面上的极化电荷面密度。布以及介质交界面上的极化电荷面密度。R R1 1R R0 0R R2 2例例1-4 求解思路：根据问题的对称性，在距离芯线轴线为求解思路：根据问题的对称性，在距离芯线轴线为R 的的各点上电位移矢量各点上电位移矢量D 的大小相等，方向为径向。因此，选择的大小相等，方向为

22、径向。因此，选择与轴线垂直的上下底面与轴线垂直的上下底面S1、S2与半径为与半径为 R 的圆柱面的圆柱面S3共同组共同组成高斯面成高斯面S，设，设S1与与S2之间距离为单位长度，则根据高斯定理之间距离为单位长度，则根据高斯定理可以求解该问题。可以求解该问题。 当计算出来介质交界面的电场强度后，即可进一步算出当计算出来介质交界面的电场强度后，即可进一步算出极化电荷面密度。极化电荷面密度。 作业：作业：P35 1-13、1-15、1-191.6 电场强度电场强度E的环路定理与电位函数的环路定理与电位函数电场力的功：电场力的功：ldqWlEABl静电场环路定理：静电场环路定理：能量守恒原理能量守恒原

23、理单位正电荷沿任意闭合路径环绕一周时，单位正电荷沿任意闭合路径环绕一周时，电场力所做的功的总和为零。电场力所做的功的总和为零。0ldlE定理：定理：静电场中，电场强度静电场中，电场强度E 沿任意闭合环路沿任意闭合环路l的有向曲线的有向曲线积分恒等于零。积分恒等于零。* * 静电场是保守场或无旋场。静电场是保守场或无旋场。静电场中的电位函数静电场中的电位函数0ldlE将单位正电荷由将单位正电荷由点点A移至点移至点B时时，电场力，电场力所做的功与选取的路径所做的功与选取的路径l 无关。无关。电位差电位差(定义定义)：移动单位正电荷从电场中移动单位正电荷从电场中 A 点移到点移到 B 点，点， 静电

24、场力静电场力所做的功所做的功，为静电场中，为静电场中两点的电位差两点的电位差:BAABdlE电位电位(定义定义)：将单位正电荷从将单位正电荷从A点沿任意路径移至零电位参考点点沿任意路径移至零电位参考点P时，时， 静电力所做的功。静电力所做的功。 PAAdlE电位与电位差的关系：电位与电位差的关系：BABPPAABddlElE单位：伏特(V)单位：伏特(V) 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取同一个物理问题，只能选取一个一个参考点。参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有合合适的

25、物理意义适的物理意义。 *电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。 *电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电位参考点的选取电位参考点的选取00rC0rrq040C0RrRqrq0044RqC04无意义Cqr4)(0rr例：例：例例1-5 长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。长度长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。长度L远大于截面尺寸，若远大于截面尺寸，若缆芯的外半径为缆芯的外半径为R1，外皮的内半径为，外皮的内半径为R2，其间绝缘介质的电容率为，其间绝缘介质的电容率为， 确定其确定其中电场强

26、度与电压的关系。中电场强度与电压的关系。R1R2R解：解：分析：分析：电场具有轴对称性，电场强度沿径向。取高斯面取高斯面：半径为R，高为单位长度的柱面S设设：线芯单位长度的电荷量为EDsDSd2ER212121ln2RRRUdRER1212lnRRRUER1R R2 2+例例1.6 例例1-6 圆柱形电容器的柱面之间充满了体密度为 的均匀体积电荷，电容率为，内、外柱面的半径分别为R1和R2，施加电压U12。求电容器内电场强度和电位函数的分布。解：解：分析：分析：电场具有轴对称性，电场强度沿径向。取高斯面取高斯面：半径为R，高为单位长度的柱面S设设：线芯单位长度的电荷量为，则单位圆柱面内所包含电

27、荷量：R221qRRSdqDsDE2212RRERR1R R2 2+R2212212142lnURRRE RRRR取外层取外层柱面柱面R=R2为电位参考点为电位参考点0电位电位例例1-61.7 电位梯度电位梯度E ElA AB B0 xyz电位沿电位沿l方向的变化率：方向的变化率：设设单位正电荷单位正电荷由由A(x,y,z)点沿点沿l方向移至方向移至 B(x+x，y+y，z+z)点点BABAdlE0lcoslEBAlEllEABl0limcoscosgrad lEgradE结论：结论：空间任一点的电场强度，等于该点电位梯空间任一点的电场强度，等于该点电位梯 度的负值。度的负值。电场强度的方向，

28、是由高电位指向低电位，即电电场强度的方向，是由高电位指向低电位，即电位下降的方向。位下降的方向。电位梯度的方向，是由低电位指向高电位。电位梯度的方向，是由低电位指向高电位。例例1-7 主要是考察电位的可叠加性和梯度公式的应用，此处略去主要是考察电位的可叠加性和梯度公式的应用，此处略去学生自己体会。学生自己体会。1.8 静电场的边界条件静电场的边界条件 以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。 0L DDnn1212 DDn或2、电场强度E的衔接条件 以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ）。 0L 0lElE1t21t12121 0ttEEnEE或1、 电位移矢量D的衔接条件分界面

29、两侧 E 的切向分量连续。 分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。0SSDSDn2n1则有qdSD 根据 0dllE根据 则有 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此表

30、明: 在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数用电位函数 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。)0(对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？ 如图如图(a)与图与图(b)所示平行板电容器所示平行板电容器,已知已知d1, d2, s1, s2, 1和和2。图。图(a）已知极板间电压）已知极板间电压U0 , 图图(b)已知极板已知极板上总电荷上总电荷,试分别求其中的电场强度试分别求其中的电场强度。例例12112

31、211220nnDDEEE dE dU电压边界条件xxeEeE12210121221021ddUddU例例 (a)22111110221122211121，电荷边界条件ntntntttDEqSSDEDEEE011211122xqeSSxEEe例例 (b)例例1-8 如图，由如图，由x=0和和x=3的两平面所分隔的区域的两平面所分隔的区域、中，分别填充相对电容率为中，分别填充相对电容率为r1、r2 、 r3的三种个质，其中，的三种个质，其中，r3=2r2 =4r1 。已知区域。已知区域中均匀电场的强度为中均匀电场的强度为E1=Ex1ex+Ey1ey+Ez1ez=8ex+5ey+6ez V/m,求

32、区域求区域、中的场强中的场强E2，E3。每种介质内部的场是均匀的，介质内部的每种介质内部的场是均匀的，介质内部的场强与其边界上的场强相等。场强与其边界上的场强相等。解：解：0 12nnDDr1r1r2r2r3r30 xn nxxxxxxEEEDDD330220110321 即2432xxEEtttEEE321653232zzyyEEEExyxxyxeeeEeeeE652654321.9 微分形式的高斯定理微分形式的高斯定理2xxDdxDxA点处点处D的三个分量的三个分量：11()22xxxxDdxDDdSD dydzdxdydzxx,xyzDDD三个方向上变化率：三个方向上变化率：,yxzDD

33、Dxyz21()22xxxxD dxDDdSD dydzdxdydzxx xDdxdydzx()yxzsDDDddxdydzxyzDSiinsidiSqd,sD设电荷体密度为设电荷体密度为SVddVDsSVddV AsA散度定理散度定理VVdVdV D D电场中任一点电场中任一点D的散度，等于该点的散度，等于该点处的自由电荷体密度。处的自由电荷体密度。体积V的任意性0 D0 D0 D 高斯定理说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的源，D线从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。这里，“有源”的概念为有始有终。物理意义物理意义例例1-90, ,coscoscosx y zxyz空气中的电位函数为空气

34、中的电位函数为 ， 其中其中 为已知，试问电荷按什么规律分布？为已知，试问电荷按什么规律分布？, , , 求解思路：求解思路：, ,x y z E0, , ,x y zx y zED D222, ,coscoscosx y zxyx 课后作业：课后作业：P35 1-21P36 1-23 1-261.10 微分形式的电场强度环路定理微分形式的电场强度环路定理2zzEdyEyA点处点处E的三个分量：的三个分量：1()22zzzzEdyEEdzE dzdydzyy,xyzEEEEz沿沿y方向变化率：方向变化率：zEy1()22zzzzE dyEEdzE dzdydzyy zEdydzy()0yzla

35、bcdEEddydzyzElP点的点的Ez：0ldlE积分形式积分形式斯托克斯定理斯托克斯定理SAlAd)(dSl0sEdS0SS0sES S的任意性的任意性0E 静电场中静电场中E的旋度的旋度恒等于恒等于0 0，它的三个分量也恒为，它的三个分量也恒为0 00EE旋度的表达式：旋度的表达式：xyzxyz eee ()()()xyzxyzyyzxzxxyzxyzEEEEEEEEEyzzxxyeeeEeee2226322xyzzeeeExy exyzyxxz例例1-10 求矢量场 的旋度解解 由直角坐标系中的旋度公式zyxezexexyA223221 泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点

36、是静电场的基本方程：2泊松方程0EEED常数EEE 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。时当 002拉普拉斯方程2222222zyx2 拉普拉斯算子0022123332例 列出求解区域的微分方程 1.11 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程D2 哈密尔顿算子哈密尔顿算子：xyzxyz eee2222222xyz()xyzxyzxyzxyzeeeeee() () xyzxxyyzzyxzDDDxyzDDDxyzDeeeeee()() ()()()xyzxxyyzzyyzxzxxyzEEExyzEEEEEEyzzxxyEeeeeeeeee标量函数的梯度：失量函数的散度

37、：失量函数的旋度：泊松（拉普拉斯）方程：0120cos1cos1sin1cos11122222222122122112rarArarArarArrarArrzrrrrr根据运算结果，证明了 满足拉普拉斯方程例例1-111-11证明在圆柱坐标系下，函数满足拉普拉氏方程证明证明 由圆柱坐标系中拉普拉斯算子 的表达式（P247表达式)cos21rarA21边界条件：边界条件：对于一个具体的场来说，不同的边界约束条件，就有不同的分布状态，通常将能够正确说明边界上约束情况的条件，即边界约束条件。静电场的边值问题静电场的边值问题：给定此场域的边界形状及未知函数在边界上某种形式的值，称之为给定边界约束条件或

38、给定边界条件。上述求解问题，称之为：静电场的边值问题。 静电场的边界，大致由三种情况的边界面组成：一种是导体表面导体表面，其次是介质分界面介质分界面，再其次就是无限远处场无限远处场的外边界的外边界。1.12 静电场的边值问题静电场的边值问题通常导体表面的边界条件有如下几种类型：一、给定某导体给定某导体i i的电位值的电位值Ci i (由于导体是等位体，因而对于导体i的表面而言，其各点的电位值应是同一已知常数Ci)。二、给定某导体给定某导体i表面每一点的自由电荷面密度表面每一点的自由电荷面密度i实际上，往往很难事先知道导体表面各点的自由电荷面密度，因而通常会遇到的另一种情况是，给定某导体的电荷总

39、量qi，另外限定所求的电位函数必须满足导体表面为等位面这一要求。三、给定静电场中某些导体的电位值，同时给定另外给定静电场中某些导体的电位值，同时给定另外一些导体的电荷量一些导体的电荷量(或一些导体表面每点的自由电荷面密度)，即场的所有赋值的边界由上面二种情况组合而成。 根据边界条件的分类，静电场边值问题的提法有三类：第一类边值问题(称为狄利克雷问题)给定每一导体表面电位值，即 (已知常数)在不同介质交界面，满足连接条件，即 当电荷分布于有限空间时，指定在场的无限远边界处电位为零。即(有自由电荷体密度区域)(无自由电荷体密度区域)(分界面上无自由面电荷)02iCiiCnnDD1212221211

40、nnttEE2112212102nnDD1212221211nnttEE21122121iiniqdsni第二类边值问题(称为诺依曼问题)(无自由电荷体密度区域)(有自由电荷体密度区域)给定每一导体表面每点之自由电荷面密度或给定每一导体的总电荷量在不同介质交界面，满足连接条件，即(分界面上 无自由面电荷)这种边值问题中，每位值可相差一任意常数，该常数由电位参考点确定。第三类混合边值问题给定某些导体中每一导体的表面电位值，及其它另外某些导体中每一导体的总电荷量(或某些导体每一导体表面的自由电荷面密度)，即或 在不同介质交界面，满足连接条件，即 (分界面上 无自由面电荷)iCiiqdsni1222

41、1211nn122121nnDD12ttEE2102(有自由电荷体密度区域) (无自由电荷体密度区域)iin已知场域边界上各点电位值自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值rrlim边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即022nn221121)(sf1S)(sfn2S)()(sfn3S 为什么注重为什么注重讨论导体表面的边界条讨论导体表面的边界条件？件？导体表面的边界条导体表面的边界条件有哪几类？件有哪几类？例

42、例1.12 平等板电容器的极板间距离为平等板电容器的极板间距离为d，所加电压，所加电压U0为已知，一半空间有体电为已知，一半空间有体电荷均匀分布，电荷密度为荷均匀分布，电荷密度为，介质的电容率为，介质的电容率为0 。忽略边缘效应，试求电场。忽略边缘效应，试求电场分布。分布。解题思路：解题思路：建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系定解问题：00201Udxx 20 012012 dxx 2 0 02222d xdx边界条件：xxdxdxdxdx2010212222d xddxddU dxxddU2 8820 83 x20200200201 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为图示长

43、直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅的正方形，铅皮半径为皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接，并且在两导体之间接有电源有电源 U，试写出该电缆中静电场的边值问题。，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：解：根据场分布对称性，确定场域。根据场分布对称性，确定场域。0yx22222（阴影区域）场的边界条件列写如下：场的边界条件列写如下：(,0,0)xbybybxbU及222(,0,0 )0 xyaxy(0,0)0 xyax(0 ,0)0yxay例例 边值问题边值问题边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模

44、拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法边值问题的研究方法边值问题的研究方法本章小结本章小结一个基本定律：一个基本定律：库仑定律：库仑定律：两个基本定理：两个基本定理：高斯定理：高斯定理：环路定理：环路定理：一个方程：一个方程：泊松方程：泊松方程：三个物理量：三个物理量：E D 介质分界面衔接条件：介质分界面衔接条件：21202121R4qqeF0lSdqdlEsD0ED2nn221121课后作业：课后作业： P36： 1-27 P37: 1-35 1-36 1-43 1-44