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1、2分部积分法分部积分法分部积分法 第三章 第三节3 由上节可知，基础上得到的，积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：xdxxxdxxdxxexdxxxlnarctansin等，换元积分法就不一定有效了。本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数公式推得另一个求积分的基本方法 分部积分法分部积分法换元积分法是在复合函数求导公式的是一种应用广泛的积分法则。 但是当被4由微分公式dvuvduduv两边同时积分得:vuduvuvdxvuuvxvudduvvuvudd1) v 容易求得 ;vuvdud)2比容易计算 .:)(的原则或及选取vdvu分部积分公式分部积分公式设函数)()(xvvxuu具有连
2、续导数分部积分法分部积分法5例例1. 求.dcosxxx解解:,xu ,sin xddv 则,dxdu xvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossindxexPxn)(.xdxxPnsin)(xdxxPncos)(型xxdxxxsindcosuvvuvudd6?dsin2xxx提示提示:,2xu ,cosxddv 则原式xdxcos2xxxdcos2dxexPxn)(.xdxxPnsin)(xdxxPncos)(型思考思考: 如何求xx cos2,2xxddu ,cosxv 原式7dxxex解：解：原式xxdedxexexxcexexxcxex) 1(小结：若被积函数是幂函数)(x
3、Pn和正（余）弦函数或指数函数的乘积，可用分部积分法。并设u。这样通过一次分部积分，就可以使幂函数的幂次降低一次。即在dxexPxn)(xdxxPncos)(xdxxPnsin)(中，总令uxPn)(幂函数为例例2：求uvvuvudd8xdxxbaxcossin)(解：解：原式xdxbax2sin21)(cxaxbax2sin82cos)(41xdxaxbax2cos42cos)(41xxdbax22sin)(41xdbax2cos)(41例例3 求9xdxxPnarcsin)(.dxbaxxPn)ln()(型xdxarcsin解：解：令dxdvxu arcsinxvxdxdu21原式21ar
4、csinxxdxxx2212)1 (arcsinxxdxxcxxx21arcsin例例4 求uvvuvudd10.darccosxx解解: 令,arccosxu dxdv , 则,112dxxduxv 原式 =xxarccosxxxd12xxarccosxxarccosCx 21例例5. 求2212)1 (xxd11例例6. 求.darctanxxx解解:xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21原式.2arctan2xdx12原式 =xx ln212Cxxx2241ln21解解:.dlnxxx例
5、例7. 求.2ln2xdxxxxd121213例例8：求dxxx) 1ln(2解：解：原式3) 1ln(31dxx11) 1ln(3133dxxxxx 小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积，即有xdxxPnarcsin)(dxbaxxPn)ln()(dxxPdvn)()ln(arcsinbaxuxudxxxxx11) 1() 1ln(3133dxxxxxx)1(11) 1ln(3123cxxxxx2332131) 1ln() 1(3114例例9. 求.dsinxxex解解:原式xexsinxxexdcos再令,cosxu dxedvx, 则,sin xdxduxev xexsi
6、nxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 1。也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中象解代数方程那样解出所求的积分来。.sinxedx15解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为u.v反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数16例例10. 求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2C
7、xex)1(2)teC令（先用换元，后用分部积分）例例11 求求dxx)cos(ln解解: 令dxdvxu)cos(ln原式dxxxxxx1)sin(ln)cos(lndxxxxxx)cos(ln)sin(ln)cos(ln原式cxxx)sin(ln)cos(ln2tedvdtu17说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .18例例11. 已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解
8、:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos219例例12. 求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 则texexttdd,tteItdsinttetettdcossinIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln2120内容小结内容小结 分部积分公式uvvuvudd1. 使用原则 :2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式v容易求出vdu比udv好求。21思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsincosxxxxxx得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .xxsinsindCx sinln22作业作业 P191 1 2结束结束