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1、4简单计数问题,一,二,一、有限制条件的排列、组合问题1.对于有限制条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.,一,二,2.限制条件排列、组合问题的求解方法与技巧:(1)若有特殊元素或特殊位置,通常优先安排特殊元素或特殊位置,即特殊位置、特殊元素应优先安排;(2)当限制条件超过两个(包括两个),若互不影响,则直接按分步解决;若相互影响,则首先分类,在每个分类中再分步解决;(3)排列、组合混合
2、问题要先选后排;(4)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,即相邻问题捆绑处理;(5)某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入空位,即不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件.,一,二,二、排列、组合的综合应用求解排列、组合的综合问题时,首先要认真审题,只有认真审题,才能把握问题的实质,分清是排列还是组合问题,并注意结合分类与分步两个原理,要按元素的性质确定分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.1
3、.解排列、组合的综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.2.解排列、组合的综合问题时要注意以下几点:(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.,一,二,(2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.(3)排列、组合的综合问题背景丰富,抽象性较强,一般无特定的模式和规律可循,对思维能力和分析能力要求较高.因此要抓住问题的实质,把问题分解为简单的常规问题进行求解.,一,二,【做一做1】从5名男生和5名女生中选3人组队参加
4、某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选的组队方案数为()A.100B.110C.120D.130解析10人中任选3人的组队方案数为=120,没有女生的组队方案数为=10,所以符合要求的组队方案数为120-10=110.答案B,一,二,【做一做2】现有10个保送上大学的名额,分配给7所学校,每校至少有1个名额,问名额分配的方法共有种.解析每个学校至少有一个名额,则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类:若3个名额分配到1所学校,则有7种方法;,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例1】已知A,B,C,D,E五个同学,按下列要求进行排列,分别求其满足条件
5、的排列方法数.(1)把这五个同学安排到五个空位上且A,B必须相邻;(2)把这五个同学安排到五个空位上且A,B必须相邻,C,D,E也必须相邻;(3)把这五个同学安排到六个空位中的五个空位上且A,B必须相邻.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析(1)符合“捆绑法”的要求,可直接利用“捆绑法”的解决方法进行解题;(2)由于A,B必须相邻,C,D,E也必须相邻,可考虑将这两部分各自视为整体,先对两个整体排列,再对整体内部排列;(3)先把同学和座位绑到一起,进行排列,然后把剩余的空座位插到已经排好的中间.解(1)分两步.第一步:把A,B两个同学看作一个整体,看成一个“大元素”,和C,D,E共
6、四个元素进行排列,其排列方法有种;第二步.对捆绑到一起的A,B这两个同学内部排列,即“松绑”,其排列方法有种;故根据分步乘法计数原理,符合题意的排列方法数有种.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟解决“相邻”问题用“捆绑法”,就是将n个不同的元素排列成一排,其中k个元素排在相邻位置上,求不同排法种数的方法:(1)先将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;(2)把整体当作一个元,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案:36,探究一,
7、探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例2】有3名男生,4名女生,按下述要求,分别求出其不同排列的种数.(1)选其中5人排成一行;(2)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两头的位置;(3)全体排成一行,其中甲、乙必须在两头;(4)全体排成一行,其中甲不在首,乙不在尾;(5)全体排成一行,其中男生、女生都各不相邻;(6)全体排成一行,其中男生不能排在一起;(7)全体排成一行,其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变;(8)全体排成一行,甲、乙两人间恰有3人;(9)全体排成前后两排,前排3人,后排4人.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型,注意在
8、处理这类问题时一般应遵循:“先特殊,后一般”的原则,即先考虑特殊的元素或特殊的位置,再考虑一般的元素和位置,对于“必相邻”元素,常采用“捆绑法”的技巧,对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧,此外“正难则反”是处理排列问题的一个重要策略,还是检查结果是否正确的重要手段.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2有A,B,C,D,E五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A,B两位学生去问成绩,老师对A说,你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对B说
9、,你是第三名,那么这五位学生的名次排列共有种不同的可能.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例3】6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法:(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;(2)分为三份,每份两本;(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本.分析(1)是平均分配问题,可以理解为一个人一个人地来取.(2)是“均匀分组问题”.(3)是不均匀分组问题.(4)分组后排列问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.解决此类问题要分清是分组问题还是分配问题.2.分组问题属
10、于“组合”问题,常见的分组问题有三种:(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相同;(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有m组均匀,最后必须除以m!;(3)完全非均匀分组,不用考虑重复现象.3.分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3将4名新来的同学分配到A,B,C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案种数是.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例4】现有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内:(1)共有几种放法?(2)恰有1个空盒,有几种放法?(3
11、)恰有2个空盒,有几种放法?分析(1)可用分步乘法计数原理.(2)恰有一个空盒相当于4个不同的球放到三个不同的盒子内,必有一个盒子放2个球.(3)恰有两个空盒,相当于4个球放到两个盒子内,可以是3,1放法,也可以是2,2放法.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.解排列组合的综合问题,首先要认真审题,把握问题的实质,分清是排列还是组合问题,再注意结合分类与分步两个原理,要按元素的性质确立分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.2.解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
12、,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法种数.(1)有女生但人数必须少于男生;(2)有某女生且一定要担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任语文课代表;(4)有某女生且一定要担任语文课代表,有某男生但不担任数学课代表.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因对限制条件考虑不全而致误【典例】从19的9个数字中,取出5个数字作排列,并把五个位置自右至左编号,则奇数数字必在奇数位置上的排列有个.,易错分析含有限制条件的排列组合题目容易出现对限制条
13、件考虑不全而致误.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,答案:2520,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得1.解决受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.2.解组合应用题时,应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义.3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练赛艇运动员10人,3人会划右舷,2人会划左舷,其余5人两舷都能划.现要从中选6人上艇,平均分配在两舷上划桨,有种不同的选法.,1,2
14、,3,4,1.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有()A.280种B.240种C.180种D.96种,1,2,3,4,答案:B,1,2,3,4,2.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有()A.90种B.180种C.270种D.540种答案:D,1,2,3,4,3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168,1,2,3,4,4.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).,