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1、第2课时空间向量的数量积,一,二,思考辨析,一、空间向量的数量积,一,二,思考辨析,名师点拨对于空间向量的数量积,我们可以从以下几个方面理解:(1)向量a,b的数量积记为ab,而不能表示为ab或ab.(2)向量的数量积的结果为实数,而不是向量,其符号由夹角的余弦值的符号决定.当为锐角时,ab0,但当ab0时,不一定是锐角,因为也可能为0;当为钝角时,ab0,但当ab0时,不一定是钝角,因为也可能为.,一,二,思考辨析,【做一做】(1)已知两空间向量a,b的夹角为30,且|a|=3,|b|=4,则ab=.,一,二,思考辨析,二、空间向量数量积的运算律与几个结论,特别提醒当a0时,由ab=0不能推
2、出b一定是零向量,这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b,都有ab=0.,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)两个向量a,b的数量积的结果仍为向量.(),(3)若a,b,c是空间向量,则(ab)c=a(bc).()(4)若a,b,c是空间向量,且ab=ac,则b=c.(),探究一,探究二,探究三,空间向量的数量积【例1】如图,已知四面体A-BCD的每条棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点.求下列向量的数量积:,思维点拨:因为四面体A-BCD的每条棱长都等于a,所以ABC,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解:(1)
3、在四面体A-BCD中,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,反思感悟求两个向量的数量积时,一般要先保证向量之间的夹角已知或可求,最好是特殊角,再利用定义求解.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,AC1与BD1交于点O,则有(),答案:C,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,利用数量积求距离问题【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD=90,将ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60,求B,D间的距离.,思维点拨:画出立体图,结合已知条件用长度与夹角均已知的向,角及其模均易知.,探究四,思维辨析,探
4、究一,探究二,探究三,解:如图,ACD=90,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法:(1)将此线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练2如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,BAA1=DAA1=60,求AC1的长.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,利用数量积求夹角问题【例3】如图,在四面体O-ABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60,求直线OA与BC夹角的余弦值.,探究四,思维辨析,
5、探究一,探究二,探究三,反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径1.转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成角的大小.,异面直线A1B与AC成60角.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,判断或证明垂直【例4】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.证明:PABD.,证明:由底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD知,DABD,探究一,探究二,探究
6、三,探究四,思维辨析,反思感悟利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路1.由数量积的性质abab=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.2.用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4如图,已知在四面体A-BCD中,ABCD,ACBD,求证:ADBC.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因对两向量夹角的定义理解不透彻而致误【典例】如图,在四面体A-BCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M,
7、N分别为AB,AD的中点,求,纠错心得向量的夹角定义中,必须把两向量移至共起点,如图所示,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:由勾股定理,知ABBC,答案:-25,12345,1.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中数量积可能不为零的是(),解析:结合图分析可知,选项B,C,D中两向量的夹角均为90,数量积都为0.答案:A,12345,2.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60,其模都为1,则|a-b+2c|等于(),解析:(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc=1+1+4-2cos60=5,|a-b+2c|=.答案:A,12345,=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形,答案:B,12345,4.如图,在四面体S-ABC中,各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于.,12345,5.在四面体O-ABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OABC.,证明:OB=OC,AB=AC,OA=OA,AOCAOB,AOC=AOB.,