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1、第二章空间向量与立体几何,1从平面向量到空间向量,一,二,思考辨析,一、向量概念,一,二,思考辨析,名师点拨1.空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任意一点,只要保证它的大小和方向不变,它是可以自由平移的,与起点无关.2.数量可以比较大小,但向量不可以比较大小,向量的模是个非负实数,可以比较大小.3.平行向量方向不一定相同,共线向量也不是向量必须在同一条直线上.4.两个非零向量的夹角是唯一确定的,因此有=,并且=-.,一,二,思考辨析,【做一做1】“两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充
2、分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模一定相等.答案:B,一,二,思考辨析,【做一做2】给出下列命题:若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1,解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故错.根据向量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但中向量a与b的方
3、向不一定相同,故错.根据正方体的性,答案:C,一,二,思考辨析,【做一做3】如图,在正方体ABCD-ABCD中,求下列各对向量的夹角:,答案:(1)45(2)135(3)90,一,二,思考辨析,二、向量、直线、平面,一,二,思考辨析,特别提醒1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量的条件包含两个方面:一是该向量为非零向量;二是该向量与直线平行或重合,二者缺一不可.2.表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是寻找已知平面的法向量的依据.,一,二,思考辨析,【做一做4】一条直线的方向向量是()A.唯一的B.相等的C.平行的D.相反的解析:与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量.答
4、案:C【做一做5】下列说法不正确的是()A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量互相垂直,那么这两个平面也互相垂直D.如果a,b与平面共面,且na,nb,那么n就是平面的一个法向量解析:A,B,C正确,而D中,若ab,虽然na,nb,但n不一定是平面的法向量.答案:D,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大.()(2)零向量是长度为0,没有方向的向量.()(3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b.(),(5)向量
5、a与b平行,则a与b的方向相同或相反.(),探究一,探究二,探究三,思维辨析,空间向量的有关概念【例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可.,反思感悟1.只要两个向量的方向相同,模相等,这两个向量就相等,与起点和终点位置无关.2.熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AC,A1C1的中点.,解析:(1)由题意得AE=CE=A1F=C1F,答案:(1)4(2)7,探究一,探究二,探究三,思维辨析,直线的方向向量与直线【例2】如图
6、,若直线l平行于正方体的棱AA1,则在正方体中可以作为直线l的方向向量的有.,反思感悟表示一条直线的方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合,这是寻找已知直线方向向量的依据.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点为向量端点的所有向量中,直线AB的方向向量有()A.8个B.7个C.6个D.5个,解析:寻找直线AB的方向向量,先找出与直线AB平行或重合的直线,以直线上任意两点分别为起点和终点的向量即为所求.直线AB,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,用顶点表示的向量是平面A1B1C
7、1D1的法向量的有()A.1个B.4个C.12个D.8个,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟平面的法向量的判别:(1)表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是寻找已知平面的法向量的依据.(2)平面的法向量不唯一,但它们都是平行的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90.在所有棱所在直线的方向向量中,平面BB1C1C的法向量有()A.0个B.2个C.3个D.4个,解析:由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且ACB=90,A1C1平面BB1C1C,AC平面BB1C1C,答案:D,探究一,探究二,探究三,
8、思维辨析,对空间向量的有关概念理解不清致误【典例】下列说法中,错误的个数为()(1)两个有共同起点且相等的非零空间向量,其终点可能不同.,A.1B.2C.3D.4易错分析:对空间向量的有关概念模糊不清,容易把向量与数量混淆,搞清向量的有关概念是解这类题目的关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解:(1)错误,两个空间向量相等,若起点相同,则终点也相同.(2)错误,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.,故一共有3个错误命题,正确答案为C.,纠错心得在理解空间向量相关概念时,注意以下几点:(1)对于向量,其两个特征是“大小”与“方向”,注意向量与实数的关系.(2)对于相反向量,两向量方
9、向相反,模相等,但不一定在同一条直线上.(3)对于相等向量,方向相同、大小相等,但并不一定重合.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练下列命题中,正确的是()A.“两个向量平行”是“两个向量相等”的充分不必要条件B.“两个向量是相反向量”是“两个向量的模相等”的必要不充分条件C.两个有公共点的向量一定是共线向量D.若两个向量不共线,则这两个向量中没有零向量解析:因为零向量和任一向量共线,所以D项正确.答案:D,12345,1.在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,可作为平面ADD1A1的法向量的向量为(),答案:B,12345,答案:相等相反,12345,12345,4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,在以两个顶点分别为始点和终点的向量中:(1)模为1的向量共有多少个?(2)试写出模为的所有向量.,解:(1)因为长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量,量的模均不为1,故模为1的向量共有8个.,12345,5.已知正四面体A-BCD.,(2)过点A,作出平面BCD的一个法向量.,解:(1)如图,过点A作直线AEBC,由直线的方向向量的定义可知,(2)如图,取平面BCD的中心O,由正四面体的性质可知AO垂直于,