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1、精品名师归纳总结2021 年全国争论生数学建模竞赛E 题中等收入定位与人口度量模型争论居民收入安排关系到广大民众的生活水平，安排公正程度是广泛关注的话题。其中中等收入人口比重是反映收入安排格局的重要指标，这一人口比重越大，意味着收入安排结构越合理，称之为“橄榄型”收入安排格局。在这种收入安排格局下，收入差距不大，社会消费旺盛，人民生活水平高，社会稳固。一般经济发达国家都具有这种安排格局。我国处于经济转型期，收入安排格局处于重要的调整期，“橄榄型”收入安排格局正处于形成阶段。因此，监控收入安排格局的变化是经济社会进展的重要课题，例如需要回答，与前年比较， 去年的收入安排格局改善了吗？改善了多少？
2、可见实际上需要回答三个问题： 什么是“橄榄型”收入安排格局？收入安排格局怎样的变化可以称之为改善？ 改善了多少？直观上，中间部分人口增加，就收入安排格局向好的方向转化。于是基本问题回答什么是中间部分。一个国家的收入安排可以用统计分布表示，图是某收入安排的密度函数，其中表示收入 仅考虑正的收入 ，是众数点，是中位数点，是平均收入。收入安排体会分析说明，收入安排曲线一般是所谓正偏的，即峰值点向左偏，右端拖一个长尾巴，且通常有1记对应的分布函数为，就表示收入低于或等于的人口比例。由于，1式意味着收入大于或等于平均收入的人口肯定不到半数，因 此是少数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记
3、收入低于或等于的人口群体拥有收入占总收入的比例为，就应有，2称之为收入安排的洛伦兹曲线。明显，假如与是两个不同收入安排的洛伦兹曲线，如对任何都有，就对应的收入安排明显更优，由于在中，任何低收入端人口拥有的总收入比例更大。下 图中红色曲线是某收入安排的洛伦兹曲线。图其中横轴表示人口比例，纵轴表示总收入比例。明显，图中曲线位置越高，所 代表的收入安排越公平。其中线可以懂得为公平收入线，这时，任何低收入端人口比例为的人口拥有的总收入比例也是，从而必定是完全公平的收入安排。因此定义线与之间面积的倍为基尼系数。于是基尼系数定义为3与具有关系4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5其中。记的反
4、函数为，就洛伦兹曲线可以表示为实践中通过入户调查获得家庭收入与消费等数据，假如可以得到这类数据，就可以使用例如 Kernel 法估量收入安排的统计分布。我国统计部门也进行这种调查，但数据不对外公开，而只是在统计年鉴上发布所谓的分组数据世界上许多国家也如此 ，这种数据的完整形式为，6，7其中 是收入区间点，满意，通常懂得为充分大的正数。 通常不大，例如。许多国家只供应 7式描述的数据。经济学界只能利用这种稀疏的信息进行收入安排分析。记，就中人口比例为。例如图中 “+”中标出的点表示了形如 7的数据点，其中，最终的点是。假如收入安排的真实洛伦兹曲线为，且如存在，就 6表示的是曲线上的坐标点，即。
5、7表示曲线上的点，即。经济学界采纳所谓的洛伦兹曲线模型拟合上述数据 7，其中 是一组参数，使用非线性最小二乘法求解8确定其中参数向量 的估量值 ，然后用作为近似的洛伦兹曲线来进行收入安排分析，明显，这时就能通过 4、5式确定相应的统计密度与分布的估量。 是定义在 区间上、取值于 区间的函数，满意，9即在上是凸增函数。文献中经常略去参数以求表述简练。也可以使用其他方法 例如多项式、样条函数靠近 来确定洛伦兹曲线，但实践证明使用洛伦兹曲线模型是比较抱负的方法之一，有关洛伦兹曲线模型的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最近文献见参考文献 3 。经济理论中提出的另一种方法是使用体会分布拟
6、合分组数据而直接形成收入安排的近似分布，有关参考文献见1 。图经济理论界考虑取收入落在中位收入的一个范畴内的人口为中等收入人口，可以视这种方法为“收入空间法”。例如图2A，取其中收入属于中的人口为中等收入人口，这时中等收入人口比例明显等于， 见图 2B。明显，这种方法中与的取法具有任意性，由于经济进步，通货 膨胀等因素的影响，收入的区间是变化的，更多的情形是全部人口的收入都提可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高了，即全社会的收入区间右移，可见与的任意性使纵向比较各年的中等收入人口时显现困难。另一种方法可以视为“人口空间法”，即挑选邻近的一个范畴为中等收入人口，例如取范畴20%到8
7、0%，当然，按定义，中等收入人口比例已经取定为 60%。再用此 60%的人口所拥有的收入占总收入的比例来描述中等收入人口的状态，此时中等收入人口的收入范畴当然简洁算得。例如当范畴取为 20%到 80%时，中等收入人口的状态即定义为留意到平均收入为即图 3 中左侧区域的面积，而是图中淡蓝色区域的面积。图2 争论了两种方法的缺陷。第一种方法是前面提到的任意性，再考虑其次种方法。这种方法好像有道理，例如经济进展、收入增加导致全部人口的收入都右移时，总是取中间的60%进行纵向比较好像总是可行的。设收入安排是上的匀称分布，这时中位收入是。此时，中间 60%人口拥有总收入的60%，收入范畴为 14000
8、到 26000。考虑收入安排发生了变化，变成了上的匀称分布，这时收入范畴拉大了，低端人口收入下降可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结了，高端收入人口收入增加了，直观上两极分化扩大了，也即中等收入人口应该是下降了，但按其次种方法，中间60%的人口拥有的总收入比例仍是60%。这与经济直观不符。中等收入人口的多少与两极分化polarization 的程度有关，所谓两极分化，用密度函数表示时，例如严峻右偏且厚尾，也即中间部分空洞化。两极分化与收入不公平 inequality是不同的概念，文献 2 对这两个概念进行了精确阐述。 2 建立了一种指数，这种指数说明两极分化的大小或严峻程度，该指数
9、扩大意味着两极分化严峻了，这时表示中等收入人口缩小了。反之如该指数缩小了，就意味着中等收入人口扩大了。但该文献并没有给出测算中等收入人口比例大小的方法。为此，需要争论中等收入定位与人口度量问题，请你依据表一中给出的分组数据，用数学模型争论给出的问题。表一：收入安排分组数据0.00999.000.07800.07800.00591000.001499.000.05600.13400.01651500.001999.000.04200.17600.02762000.002499.000.04700.22300.04362500.002999.000.04200.26500.06113000.003
10、499.000.04400.30900.08283500.003999.000.04100.35000.10614000.004999.000.08600.43600.16475000.005999.000.09200.52800.24136000.006999.000.08800.61600.32797000.007999.000.08000.69600.41888000.008999.000.06500.76100.50249000.009999.000.05200.81300.577210000.0011999.000.07800.89100.707112000.0014999.000.
11、05600.94700.821615000.0024999.000.04300.99000.945325000.000.01001.00001.0000表中是收入区间，单位为元，是该区间内的人口比例，是中人口比例，是中人口拥有的总收入比例，因此是洛伦兹曲线上的点，其中 25000以上人口比例为 1%。总平均收入6603 元。请争论如下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一构造满意 9式的新模型，使得能很好的拟合上述分组数据、反映经济规律。例如文献 3 证明，10满意条件 9。该文中仍提出了其他一些模型，并说明利用这些模型时，产生的估量结果优于密度函数的Kernel 估量法。请
12、在现有参考文献中 文献4 的参考文献部分列出了大部分有关的文献 找出至少 10 种模型，与你们提出的模型进行比较。通过比较，说明你们的模型不差。提示：可以搜集到现成的无约束非线性最小二乘运算程序，利用参数变换对类似 10的条件进行变换，将约束非线性最小二乘问题化为无约束的。假如是你们找到的模型，分组数据是， 是你们求得的的估量， 拟合精度的好坏可以采纳以下三种标准进行比较。均方误差 MSE, mean squared error ：平均肯定误差 MAE, mean absolute error：最大肯定误差 MAS, maximum absolute error留意，此题中最好能构造新模型，而
13、不是通过简洁处理 例如加权 文献中的已有模型而得到的模型。二争论可否改进上述提到的收入空间法，这时需要争论确定中等收入的范畴、中等收入人口的范畴的科学方法，以克服中等收入区间取法的任意性。争论可否改进上述提到的人口空间法，例如争论在各年中与取不同的值时，纵向比较各年中等收入人口与收入的变动的方法。提示：目前经济理论界将中等收入人口定义为中位收入邻近的人口，于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如中间部分比前一年隆起得更高，就认为中等收入人口扩大了。如两边人口扩大了，就中等收入人口下降了。所提出的原理与模型应与这始终观相符。其他有关价值取向方面的示例性提示见问题四。三利用最终表二
14、表五所附 A, B 两个的区前后两个不同年份的收入安排 分组数据，请争论： 1 对各的区、各年份的中等收入的数量 或范畴、中等收入人口的数量或范畴进行定量描述，说明中等收入人口的变化趋势。2比较两个的区的中等收入人口、收入等变化情形。四除二题中所述方法外，提出中等收入人口的定义、原理及经济学意义，并提出与之相应的中等收入人口的测算方法、模型或指数，说明其经济学意义。提示：所提出的方法应满意普遍的价值判定或价值取向，也应反映经济规律。例如 Sen见参考文献 5 在构造贫困指数时采纳的方法，是一数量，贫困越严峻越大。这一指数之所以有用，正是它反映经济规律，满意普遍的价值判定。 这种贫困指数的构造方
15、法与此题没有关系，但请参考其中的思想。设是贫困线， Sen 先规定应满意以下两个公理 axiom，这两种公理实际上是经济规律方面的要求：单调性：贫困线以下人口增加时，增加。转移性：从贫困线以下任何人处转移收入给比他富有的人时，增加。 记，是第 个人的收入。是所谓的贫困缺口，贫困线以下人口的缺口为正，否就为负。设整个社会的收入安排为，记是收入低于的人口集合，取贫困指数为以下加权和其中是非负权数，是非负规范化因子。是一种加权贫困缺口，定义在Z 给定下全社会最大化贫困缺口为贫困指数，即取为贫困指数。要求权数安排满意所谓的相对公正条件：记第个成员的福利水平为，就时，取。可见这是价值取向方面的条可编辑资
16、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件。另外仍加上几种技术性的公理，Sen 最终推导出一种目前广泛使用的贫困指数见参考文献 5 。平均： 6281.34 元表三：收入安排分组数据 的区，年份之二 表四：收入安排分组数据 的区，年份之一 表二：收入安排分组数据 的区，年份之一 0.002228.280.100.02502228.283066.030.200.06733066.033790.180.300.12213790.184519.240.400.18824519.245254.750.500.26635254.756166.380.600.35696166.387273.480.700
17、.46317273.488813.520.800.59018813.5211424.930.900.748511424.9314171.910.950.84930.003081.270.100.02413081.274199.720.200.06514199.725272.060.300.11875272.066383.720.400.18436383.727461.830.500.26237461.838751.340.600.35328751.3410294.020.700.460110294.0212500.510.800.586512500.5116362.670.900.746816
18、362.6720288.830.950.8488平均： 8890.21 元0.008465.550.100.04278465.5510293.330.200.097810293.3311770.000.300.163011770.0013173.470.400.236713173.4714422.270.500.3180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14422.2716246.880.600.408416246.8818510.110.700.510818510.1121794.500.800.629021794.5026918.590.900.771326918.59343
19、75.610.950.85960.0011062.500.100.041111062.5013531.180.200.097013531.1815472.690.300.162215472.6917599.770.400.236917599.7719814.620.500.321019814.6222681.130.600.416322681.1325818.750.700.524925818.7529848.370.800.649929848.3735288.500.900.794835288.5042150.000.950.8804平均： 16938.46元表五：收入安排分组数据 的区，年
20、份之二 平均： 22228.53元参考文献1 Chotikapanich, D., D. S.P. Rao, and K.K. Tang, 2007. Estimating income inequality in China using grouped data and the generalized Beta distribution. The Review of Income and Wealth 53, 127-47.2 Foster, J.E. and M.C. Wolfson, 2021. Polarization and the decline of themiddle clas
21、s: Canada and the U.S. Journal of Economic Inequality 8, 247-273.3 Wang, Z.X., Y-K Ng, and R. Smyth, 2021. A general method for creating Lorenz curves. The Review of Income and Wealth 57, 561-582.注：本文中有关定理的完整证明可通过EcoPapers 下载 在谷歌中键入EcoPapers 与文章名称即可搜寻到，文章名为：general method to create Lorenz curves.4 Wang, Z.X. and R. Smyth, 2021. A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：本文可以通过 EcoPapers下载。5 Sen, A., 1976. Poverty: An ordinal approach to measurement. Econometrica 44, 219-232.可编辑资料 - - - 欢迎下载