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1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.计算:log225log522=()A.3B.4C.5D.6解析log225log522=lg25lg2lg 812lg5=3,故选A.答案A2.满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数可以是()A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=log2xD.f(x)=eln x解析f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).答案C3.函数f(x)=1ln(x+1)+4-x2的定义域为()A.-2,2B.(-1,2C.-2,0)(0,2
2、D.(-1,0)(0,2解析要使函数有意义,x应满足x+10,x+11,4-x20,解得-1x0或0x2,所以该函数的定义域为(-1,0)(0,2.故选D.答案D4.(2019全国,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca解析因为a=log20.220=1,又00.20.30.201,即c(0,1),所以ac0,则00,排除选项D.f(6)=26326+2-67,排除选项A.故选B.答案B8.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析
3、因为f(x)=4x-2x+1-3为连续函数,f(1)=4-4-3=-30.因为f(1)f(2)0,且y=t2-3t+3=t-322+34.函数f(x)=4x-32x+3的值域为1,7,函数y=t2-3t+3的值域为1,7.由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),则0t1或2t4,即00,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在两个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必
4、须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故选C.答案C12.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析设y1=2x,y2=1x-1,在同一平面直角坐标系中作出它们图象.如图,在区间(1,x0)内,y2=1x-1的图象在y1=2x图象的上方,即1x1-12x1,所以2x1+11-x10,即f(x1)0.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果幂函数f(x)的图象过点16,12,则f(64)=.解
5、析设幂函数f(x)=x(为常数),将16,12代入,求得=-14,则f(x)=x-14,所以f(64)=64-14=24.答案2414.函数f(x)=1-x21+x的零点是.解析由f(x)=0,即1-x21+x=0,得x=1,即函数f(x)的零点为1.答案115.设函数f(x)=1+log6x,x4,f(x2),x4,则f(3)+f(4)=.解析f(x)=1+log6x,x4,f(x2),x4,f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,f(3)+f(4)=2+log69+log64=2+log636=2+2=4.答案416.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其
6、中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍(假设二者相应的标准地震的振幅相同).解析第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,所以A1=109A0,A2=105A0,A1A2=10 000.答案610 000三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17
7、.(10分)计算:(1)21432+0.2-2-0+127-13;(2)log3(9272)+log26-log23+log43log316.解(1)21432+0.2-2-0+127-13=32232+15-2-1+(3-3)-13=323+25-1+3=2438.(2)log3(9272)+log26-log23+log43log316=log332(33)2+(log23+log22)-log23+log43log342=log33236+log22+(log43)2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值
8、域、单调区间以及在区间19,6上的最大值.解因为f(x)=|log3x|=log3x,x1,-log3x,0x1,所以在1,+)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)的值域为0,+),单调递增区间是1,+),单调递减区间是(0,1).当x19,6时,f(x)在19,1上是单调递减的,在(1,6上是单调递增的.又f19=2,f(6)=log362,故f(x)在19,6上的最大值为2.19.(12分)已知f(x)=ax+b,x0,-x2-1,x0,a1.(1)若f(x)在(-,+)上是
9、单调函数,求实数a,b的取值范围;(2)当a=2时,函数f(x)在(-,+)上只有一个零点,求实数b的取值范围.解(1)由题易知f(x)在(-,0)上单调递增,f(x)在(-,+)上应是单调递增的,a1,且f(0)=1+b-1,得b-2.综上,a,b的取值范围分别是a1,b-2.(2)x0时,f(x)0且a1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f35=2,求使f(x)0成立的x的集合.解(1)要使函数有意义,则1+x0,1-x0,解得-1x0,则log2(x+1)log2(1-x),x+11-x0,解得0x0,a1)与y=px12+q(p0)可供选择
10、.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)分析(1)先判断两个函数y=kax(k0,a1),y=px12+q(p0)在(0,+)上的单调性,说明函数模型y=kax(k0,a1)适合要求,然后列出方程组,求解析式.(2)利用x=0时,y=323320=323,即元旦放入凤眼莲的面积是323 m2,列出不等式转化求解.解(1)两个函数y=kax(k0,a1),y=px12+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快
11、,而函数y=px12+q(p0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k0,a1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以ka2=24,ka3=36,解得k=323,a=32,所以该函数模型的解析式是y=32332x(xN*).(2)x=0时,y=323320=323,所以元旦放入凤眼莲的面积是323 m2.由32332x10323,得32x10,所以xlog3210=lg10lg 32=1lg3-lg2.因为1lg3-lg210.477 1-0.301 05.7,所以x6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最
12、小月份是6月份.22.(12分)已知函数f(x)=-2x2x+1.(1)用定义证明函数f(x)在(-,+)上为减函数;(2)若x1,2,求函数f(x)的值域;(3)若g(x)=a2+f(x),且当x1,2时,g(x)0恒成立,求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为R,设x1,x2R且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x22x2+1-2x12x1+1=2x2-2x1(2x1+1)(2x2+1).x10.又2x1+10,2x2+10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在(-,+)上为减函数.(2)f(x)在(-,+)上为减函数,当x1,2时,f(x)min=f(2)=-45,f(x)max=f(1)=-23.当x1,2时,f(x)的值域为-45,-23.(3)由(2)得,当x1,2时,f(x)-45,-23,g(x)=a2+f(x),当x1,2时,g(x)a2-45,a2-23.g(x)0在x1,2上恒成立,a2-450,a85.