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1、习题课基本不等式的应用课后篇巩固提升基础巩固1.x2+3x+6x+1(x0)的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析由题意知,f(x)=x2+3x+6x+1=(x+1)2+x+1+4x+1=x+1+4x+1+1,因为x0,所以x+10,则x+1+4x+1+124+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时取“=”,故f(x)的最小值是5.答案D2.已知a0,b0,若不等式4a+1bma+4b恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.16D.10解析因为a0,b0,所以a+4b0,所以不等式4a+1bma+4b恒成立,即可转化为4a+1b(a+4b)m恒成立,即4a+1b(a+4b)min
2、m,因为4a+1b(a+4b)=8+16ba+ab8+216baab=16,当且仅当a=4b时取等号,所以16m,即m的最大值为16.答案C3.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为()A.37B.8C.47D.93解析由题意p=7,S=7(7-a)(7-b)(7-c)=7(7-b)(7-c)77-b+7-c2=37,当且仅当
3、7-b=7-c,即b=c时等号成立,此三角形面积的最大值为37,故选A.答案A4.若正数x,y满足x+5y=3xy,则5x+y的最小值是.解析正数x,y满足x+5y=3xy,则1y+5x=3,5x+y=13(5x+y)1y+5x=1325+1+5xy+5yx1326+25xy5yx=12,当且仅当x=y=2时取等号,故5x+y的最小值是12.答案125.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h.解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50v2800v=v
4、16小时,最后一辆车驶完全程共需要400v小时,所以一共需要400v+v16小时,由基本不等式,得400v+v162400vv16=10,故最小值为10小时.答案106.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为.解析a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b=135+2ba+2ab13(5+4)=3,当且仅当2ba=2ab且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab取得最小值3.答案37.若关于x的不等式x+4x-a5在x(a,+)上恒成立,则实数a的最小值为.解析关于x的不等式x+4x-a5在x(a,+)上恒成立,即为x-a
5、+4x-a5-a在x(a,+)上恒成立,由xa,可得x-a0,则x-a+4x-a2(x-a)4x-a=4,当且仅当x-a=2即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a4,可得a1,可得a的最小值为1.答案18.若正实数x,y满足x+y=1,求4x+1+1y的最小值.解因为x+y=1,所以(x+1)+y=2.所以4x+1+1y=4x+1+1y(x+1)+y2=125+4yx+1+x+1y12(5+24)=92,当且仅当4yx+1=x+1y,即x=13,y=23时,等号成立.所以4x+1+1y的最小值为92.9.求函数y=x+1x-1中y的取值范围.解当x1时,y=(x-1)+1x-1+12(x-
6、1)1x-1+1=3,即x1时,ymin=3;当x1时,y=-(1-x)+11-x+1-2(1-x)11-x+1=-1,即x1时,ymax=-1;故函数y=x+1x-1中y的取值范围为(-,-13,+).能力提升1.已知x54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值是()A.1B.2C.3D.12解析由题意,x0,15-4x0,则y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3=-(5-4x)+15-4x+3-2(5-4x)15-4x+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时等号成立,所以函数y=4x-2+14x-5的最大值为1,故选A.答案A2.设x0,y0,x+y=5,则1x+4
7、y+1的最小值为.解析1x+4y+1=16x+(y+1)1x+4y+1=161+4+y+1x+4xy+1=165+y+1x+4xy+132.答案323.(一题多空题)设函数y=x+ax(a0).(1)当a=1时,y在区间(0,+)上的最小值为;(2)若该函数在区间(2,+)上存在最小值,则满足条件的一个a的值为.解析(1)当a=1时,由基本不等式得x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax2xax=2a,当且仅当x=ax,x=a时等号成立,故a2,即a4.填a4的任意一个a都符合题意.答案25(答案不唯一,只要a4即可)4.中欧班列是
8、推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2x6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a(1+x)x元
9、(a0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.解(1)设甲工程队的总造价为y元,则y=31502x+40012x+7 200=900x+16x+7 200(2x6),900x+16x+7 2009002x16x+7 200=14 400.当且仅当x=16x,即x=4时等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.(2)由题意可得,900x+16x+7 200900a(1+x)x对任意的x2,6恒成立,即(x+4)2xa(1+x)x,a(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+62(x+1)9x+1+6=12,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时等号成立,0a12.