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1、课时分层作业(十九)最大值与最小值(建议用时：45分钟)基础达标练一、填空题1已知函数f(x)x33x，|x|1，f(x)的最小值为_【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，当x1,1时，f(x)0，所以f(x)在1,1上是单调递减函数，f(x)的最小值为f(1)2.【答案】22函数y在0,2上的最大值是_. 【导学号：95902240】【解析】由f(x)得f(x)，当x0,1时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1,2时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，函数取得最大值f(1).【答案】3函数yxsin x，x的最大值是_【解析】因为y1cos x，当x时，y0，则函数y在区间上
2、为增函数，所以y的最大值为ymaxsin . 【答案】4函数f(x)x(x1,3)的值域为_【解析】f(x)1，所以在1,3上f(x)0恒成立，即f(x)在1,3上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)，最小值是f(1).故函数f(x)的值域为.【答案】5已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于_. 【导学号：95902241】【解析】由已知y2x2，令y0，解得x1；函数在(，1)上是单调递增；在(1，)上是单调递减若a1，则最大值为f(a)a22a3，解得a.若a1，则最大值为f(1)1234，综上，a.【答案】6函数f(x)x2ln x的最小值为_【解析】f(x)x，且x
3、0.令f(x)0，得x1; 令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.【答案】7下列结论：在区间a，b上，函数的极大值就是最大值；在区间a，b上，函数的极小值就是最小值；在区间a，b上，函数的最大值、最小值在xa和xb时达到；在区间a，b上的连续函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值其中正确的是_(填序号)【解析】因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以都不正确，而连续函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值，所以正确【答案】8已知函数f(x)2ln x，若当a0时，f(x)2恒成立，则实数
4、a的取值范围是_. 【导学号：95902242】【解析】由f(x)2ln x得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0. 故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1. 要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，则ae.【答案】e，)二、解答题9求函数f(x)x33x，x，的最大值和最小值【解】f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)0220由上表可知：当x1时，f(x
5、)取得最大值，f(x)maxf(1)2. 当x1时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)2.10已知函数f(x)kln x，k0，求函数f(x)在上的最大值和最小值. 【导学号：95902243】【解】因f(x)kln x，f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，f(x)在上单调递减f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.若k0，f(x)，则在上恒有0，f(x)在上单调递减，f(x)minf(e)kln ek1，f(x)maxfek1.综上，当k0时，f(x)min，f(x)maxe1；当k0时，f(x)mink1，f(x)maxek1.能力提升练1已知a为实数，f(x)(
6、x24)(xa)若f(1)0，函数f(x)在2,2上的最大值为_，最小值为_【解析】由原式可得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.由f(1)0得a，此时f(x)x3x24x2，f(x)3x2x4.令f(x)0，得x1或x.又f(1)，f ，f(2)f(2)0，所以函数f(x)在2,2上的最大值为，最小值为.【答案】2已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图3310所示x10245f(x)121.521图3310 下列关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1,2；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，函数f(x)的
7、最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中正确命题的序号是_. 【导学号：95902244】【解析】由导函数的图象可知，当1x0或2x4时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当0x2和4x5时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x0和x4时，函数f(x)取得极大值f(0)2，f(4)2，当x2时，函数f(x)取得极小值f(2)1.5，又f(1)f(5)1，所以函数f(x)的最大值为2，最小值为1，值域为1,2，正确，正确；要使x1，t时，函数f(x)的最大值是2，则0t5，所以t的最大值为5，所以不正确；因为函数f(x)的极小值为f(2)1.5，极大值为f
8、(0)f(4)2.所以当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点，所以正确【答案】3设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_【解析】因为x(0,1，所以f(x)0可化为a.设g(x)，则g(x).令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0；当x1时，g(x)0. 所以g(x)在(0,1上有极大值g4，它也是最大值，故a4.【答案】4，)4已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax.(1)求函数f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值m(t)；(2)令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数
9、h(x)图象上任意两点，且满足1，求实数a的取值范围. 【导学号：95902245】【解】(1)f(x)1，x0，令f(x)0，则x1.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)的最小值为f(t)tln t；当0t1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)1.综上，m(t)(2)h(x)x2(a1)xln x，不妨取0x1x2，则x1x20，则由1，可得h(x1)h(x2)x1x2，变形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立令F(x)h(x)xx2(a2)xln x，x0，则F(x)x2(a2)xln x在(0，)上单调递增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，所以2xa2在(0，)上恒成立因为2x2，当且仅当x时取“”，所以a22.