2013年秋七年级数学竞赛专家讲座:第3讲与一元一次方程有关的问题.doc

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1、第三讲:与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程,使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容,它既是对前面所学知识有理数部分的巩固和深化,又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。典型例题:二、典型例题例1若关于x的一元一次方程=1的解是x=1,则k的值是( )A B1 C D0分析:本题考查基本概念“方程的解”因为x=1是关于x的一元一次方程=1的解,所以,解得k=例2若方程3x5=4和方程的解相同,则a的值为多少?分析:题中出现了两个方程,第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值;

2、第二个方程中有a与x两个未知数,所以在没有其他条件的情况下,根本没有办法求得a与x的值,因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同,所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程,第二个方程也就转化为一元一次方程了。解:3x5=4, 3x=9, x=3 因为3x5=4与方程 的解相同 所以把x=3代人中即 得33a+3=0,3a=6,a=2例3.(方程与代数式联系) a、b、c、d为实数,现规定一种新的运算 . (1)则的值为 ;(2)当 时,= . 分析:(1)即a=1,b=2,c=1,d=2,因为,所以=2(2)=4 (2)由 得:104(1x)=18 所以104+4x=18,解得x=3

3、例4(方程的思想)如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水,将瓶盖盖好后倒置,墨水水面高为h厘米,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的( )不考虑瓶子的厚度.A B C D分析:左右两个图中墨水的体积应该相等,所以这是个等积变换问题,我们可以用方程的思想解决问题解:设墨水瓶的底面积为S,则左图中墨水的体积可以表示为Sa 设墨水瓶的容积为V,则右图中墨水的体积可以表示为VSb 于是,Sa= VSb,V= S(a+b) 由题意,瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为例5 小杰到食堂买饭,看到A、B两窗口前面排队的人一样多,就站在A窗口队伍的里面,过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队

4、伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时,若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队,将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭,求开始时,有多少人排队。 分析:“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人,题中的等量关系为:小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+ 解:设开始时,每队有x人在排队, 2分钟后,B窗口排队的人数为:x62+52=x2 根据题意,可列方程: 去分母得 3x=24+2(x2)+6 去括号得3x=24+2x4+6移项得3x2x=26解得x=26所以,开始时,有26人排

5、队。 课外知识拓展:一、含字母系数方程的解法: 思考:是什么方程?在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a0,所以不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6解方程解:(分类讨论)当a0时, 当a=0,b=0时,即 0x=0,方程有任意解当a=0,b0时,即 0x=b,方程无解即方程的解有三种情况。例7问当a、b满足什么条件时,方程2x+5a=1bx:(1)有唯一解;(2)有无数解;(3)无解。分析:先解关于x的方程,把x用a、b表示,最后再根据系数情况进行讨论。解: 将原方程移项得2x+bx=1+a5,合并同类项得:(2+b)x=a4 当2+b0,即b2时,方程有唯一解,当2+b=

6、0且a4=0时,即b=2且a=4时,方程有无数个解,当2+b=0且a40时,即b=2且a4时,方程无解,例 8 解方程分析:根据题意,ab0,所以方程两边可以同乘ab 去分母,得b(x1)a(1x)=a+b 去括号,得bxba+ax=a+b 移项,并项得 (a+b)x=2a+2b 当a+b0时,=2 当a+b=0时,方程有任意解说明:本题中没有出现方程中的系数a=0,b0的情况,所以解的情况只有两种。 二、含绝对值的方程解法例9 解下列方程 解法1:(分类讨论)当5x20时,即x, 5x2=3, 5x=5, x=1 因为x=1符合大前提x,所以此时方程的解是x=1当5x2=0时,即x=, 得到矛盾等式0=3,所以此时方程无解当5x20时,即x, 5x2= 3,x= 因为x=符合大前提x0时,即x1,x1=2x+1,3x=2,x=因为x=不符合大前提x1,所以此时方程无解当x1=0时,即x=1,0=2+1,0 =1,此时方程无解 当x10时,即x1,1x=2x+1,x=0因为x=0符合大前提x1,所以此时方程的解为x=0综上,方程的解为x=0三、小结1、体会方程思想在实际中的应用;2、体会转化的方法,提升数学能力.

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