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1、一三角函数与解三角形(B)1.(2018河北承德模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.2.(2018金华模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B2.(1)求证:c=2b;(2)若ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.3.(2018资阳模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A;(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.4.(2018
2、超级全能生全国联考)已知ABC中,AC=42,BC=4,ABC =.(1)求角A和ABC的面积;(2)若CD为AB上的中线,求CD2.1.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由和C(0,)得sin B=cos B,又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=12acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为2+1.2.(1)证明:ABC中,由sin
3、 A=sin(B-C)+2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B,所以cos B0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因为ABC的面积为S=5b2-a2,所以有12bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4.3.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则b2+c2-a22bc=12,即cos A=12,由于0A16,所以b2+c2的取值范围是(16,32.4.解:(1)由=,得sinBAC=12,又BCAC,则BAC,解得BAC=.所以ACB=,所以ABC的面积S=12424sin=4(3+1).(2)设AB=x,则在ABC中,由余弦定理得32=x2+16-8xcos,即x2-42x-16=0,解得x=22+26(舍负),所以BD=2+6.在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos=16-43.