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1、2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)例 1 已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线
2、可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据MOMA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么
3、AD5m因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点C的坐标为（2，2） 图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为图4 例2 将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的
4、三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况思路点拨1把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答（1）抛物线c2的表达式为
5、（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c2：与x轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB2抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE6所以2(1m)6解得m2情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE3所以2(1m)3解得图2 图3 图4如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而OM2m23，所以4(1m)24(m23)解得m1（如图4）考点伸展第（2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB2，AB边上的高为，所以ABM是等边三角形同理DEN是等边三角形当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合因为起始位置时BD2，所以平移的距离m1