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1、 1 2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(一)例 1 已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数 EMBED Equation.DSMT4|334yx的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数 yx2bxc的图像经过点A、M （1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标 图1 解析（1）当x 0 时，所以点A的坐标为(0，3)，OA 3 如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x 1
2、所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E 在 RtADE中，设AE 4m，DE 3m，那么AD 5m 因此点C的坐标可以表示为(4m，3 2m)将点C(4m，3 2m)代入，得解得或者m 0（舍去）因此点C的坐标为（2，2）图 2 图 3 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的 坐标为 2 图 4 例 2 将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1 所示（1）请直接写
3、出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E 当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由 图 1 解析（1）抛物线c2的表达式为（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为 抛物线c2：与x轴 的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的
4、坐标为，与x轴的两个交点为、，AB 2 抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE 6所以2(1m)6解得m 2 情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE 3所以2(1m)3解得 3 图 2 图 3 图 4 如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AEMN 2OM而OM2m2 3，所以 4(1m)2 4(m2 3)解得m 1（如图4）考点伸展 第（2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB 2，AB边上的高为，所以ABM是等边三角形 同理DEN是等边三角形当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合 因为起始位置时BD 2，所以平移的距离m 1