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1、第3课时几个常用函数的导数及其公式基础达标(水平一)1.已知f(x)=1x3,则f(1)=().A.1B.-1C.3D.-3【解析】因为f(x)=1x3=x-3,所以f(x)=-3x-4.故f(1)=-3.【答案】D2.曲线y=x3的斜率等于1的切线的条数为().A.1B.2C.3D.不确定【解析】y=3x2,且k=1,3x2=1,解得x=33.【答案】B3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为().A.e2B.2e2C.4e2D.e22【解析】因为点(2,e2)在曲线上,y=ex,所以切线的斜率k=e2,所以切线的方程为y-e2=e2(x-2),即e2x-y-e
2、2=0.又此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2),(1,0),所以三角形的面积S=121e2=e22.【答案】D4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为().A.1eB.-1eC.-eD.e【解析】因为y=(ex)=ex,设切点坐标为(x0,y0),所以k=y0-0x0-0=ex0x0=ex0,得x0=1,所以k=e.【答案】D5.若曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+6平行,则切点坐标是.【解析】设切点坐标为(x0,x02),因为y=2x,所以切线的斜率k=2x0,又切线与y=4x+6平行,所以2x0=4,解得x0=2,故切点坐标为(2,4).【答案】(2,4)6.
3、抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的距离的最小值为.【解析】由题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线的切线的切点到直线x-y-2=0距离最小.该切线斜率为1.设切点为(x0,y0),则有y|x=x0=1=2x0,x0=12,切点为12,14,d=12-14-212+(-1)2=728.【答案】7287.求曲线y=1x与y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.【解析】联立两条曲线方程y=1x,y=x2,解得x=1,y=1,故交点坐标为(1,1).k1=-1x2x=1=-1,k2=2x|x=1=2,两条切线的方程分别为x+y-2=0,2x-y-1=0,与x轴所围成的图形
4、如图(阴影部分)所示.两条切线与x轴的交点分别为(2,0),12,0.三角形的面积S=1212-12=34.拓展提升(水平二)8.已知曲线y=x3-1与曲线y=3-12x2在x=x0处的切线互相垂直,则x0的值为().A.33B.333C.3D.393【解析】由导数的定义得,曲线y=x3-1在x=x0处的切线斜率k1=3x02,曲线y=3-12x2在x=x0处的切线斜率为k2=-x0.两条曲线在x=x0处的切线互相垂直,3x02(-x0)=-1,x0=393.故选D.【答案】D9.若曲线y=x在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是().A.4B.-4C.2D.
5、-2【解析】y=12x,切线方程为y-a=12a(x-a).令x=0,得y=a2,令y=0,得x=-a.由题意知12a2a=2,a=4.【答案】A10.函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*,若a1=16,则a1+a3+a5=.【解析】y=2x,在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),ak+1=12ak,即数列ak是首项a1=16,公比q=12的等比数列,a3=4,a5=1,a1+a3+a5=21.【答案】2111.已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解析】不存在.理由如下:设y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为P(x0,y0).则两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y1|x=x0=cos x0,k2=y2|x=x0=-sin x0,若使两条切线互相垂直,必须有cos x0(-sin x0)=-1,即sin x0cos x0=1,即sin 2x0=2,这是不可能的,两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.