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1、函数的周期性、奇偶性、对称性函数的周期性、奇偶性、对称性一、函数周期性：，则称为函数的一个周期，且也是它的周期。常见结论：1、的最小正周期为 2、的最小正周期为3、的最小正周期为 4、的最小正周期为二、函数对称性：（主要研究轴对称）：在某一条轴的两侧图形完全一致，则称这条轴为函数的对称轴。常见结论：1、关于轴对称 2、关于对称 3、关于对称判断抽象表达式具有周期性或对称性的方法：系数符号一致周期性系数符号相反对称性三、函数奇偶性 判断函数奇偶性的步骤：判断定义域关于原点对称 判断上述表达式 得出结论题型一：函数奇偶性 4 / 41、若奇函数的定义域是，则 2、已知是定义在的偶函数，那么 3、是
2、奇函数，则 4、是偶函数，则 5、设函数是定义在R上的奇函数，当 时，则 6、设函数是定义在R上的奇函数，当 时，则 7、已知函数且，求 8、已知和都是定义在R上的奇函数，若且，则 9、函数式定义在上的奇函数，满足。（1）求的表达式（2）证明是增函数（3）解不等式题型二、函数周期 性1、已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 2、已知是定义在R上的奇函数，且满足，则 3、是定义在R上的偶函数且当时，则 4、已知奇函数有时的值为 5、函数对于任意实数满足条件，若则 6、是定义在上的以3为周期的奇函数，且满足，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A2B3C4D77、已知是R上最小正周期为
3、2的周期函数，且当时，则函数的图像在区间上与轴的交点个数为：A、6 B、7 C、8 D、.98、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则A、 B、C、 D、9、（上海） 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的为 .10、已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.（1）证明：；（2）求的解析式；解：是以为周期，且在上是奇函数当时，可设由得.题型三：函数对称性1、二次函数满足，且有两个实根则等于（ ）A、0 B、3 C、6 D、不能确定2、已知函数和函数，则与关于（ ）A、关于轴对称
4、B、关于轴对称 C、关于轴对称 D、关于原点对称3、（09全国卷文）函数的图像（ ）A、 关于原点对称 B、关于主线对称C、 关于轴对称 D、关于直线对称4、已知是偶函数，则函数的图像（ ）A、关于轴对称 B、关于轴对称 C、关于轴对称 D、关于轴对称5、函数的图象A、关于原点对称 B、 关于直线y=x对称 C、 关于x轴对称 D、 关于y轴对称6、用表示中的最小值，若函数的图像关于直线对称，则的值为( )A、-2 B、2 C、-1 D、17、已知二次函数是偶函数，则实数的值是 题型四：奇偶性与单调性的综合应用1、已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是 2、若偶函数在上是增函数，且那
5、么它在区间上（ ）A、最小值是9 B、最小值是-9C、最大值是-9 D、最大值是93、已知函数是R 上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 4、已知偶函数在上单调递增，则满足的取值范围是（ ）A、（，） B、，）C、（，） D、，）5、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则A、 B、C、 D、6、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则解析：函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知,所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 5、已知偶函数在上单调递增，则满足的的取值范围是 6、偶函数在是增函数则A、 A、 C、 D、不确定7、已知函数（1）讨论函数的奇偶性（2）若在上是增函数，求的范围。8、已知偶函数的的定义域为，且在区间内递减，若，求的范围9、已知奇函数的的定义域为，且在区间内递减，求满足的的取值范围。10、已知定义域为R的函数是奇函数（1）求的表达式 （2）判断的单调性（3）有恒成立，求取值范围。