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1、精品名师归纳总结必修五 学问点总结第一章：解三角形学问要点一、正弦定理和余弦定理abcsinsinsin C1、正弦定理： 在C 中,a 、b 、c 分别为角、C 的对边,就有2R R 为C 的外接圆的半径 2、正弦定理的变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2 R sin, b2R sin, c2 Rsin C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sina, sin2 Rb , sin Cc。2R2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a : b : csin: sin: sin C 。1
2、11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、三角形面积公式：SCbc sinab sinCacsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2c2a 2a 22bcc2b 22 ac222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、余弦定理：在C 中,有 a 2b2c22bc cos,推论：cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a2c22ac cos B ,推论：cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a2b 22ab
3、cos C ,推论：cos Ca2b 2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、解三角形处理三角形问题, 必需结合三角形全等的判定定理懂得斜三角形的四类基本可解型,特殊要多角度 （几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度）去懂得“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情形,依据已知条件判定解的情形,并能正确求解1、三角形中的边角关系（ 1）三角形内角和等于180。（ 2）三角形中任意两边之和大于 第三边,任意两边之差小于 第三边。（ 3）三角形中大边对 大角,小边对 小角。（ 4）正弦定理中 , a=2 RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin C,其
4、中 R 是 ABC 外接圆半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）在余弦定理中 :2bccosA= b 2c2a 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）三角形的面积公式有:S=1 ah,S=21 absinC=21 bcsinA=21 acsinB ,S= 2PPa Pb Pc 其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中, h 是 BC 边上高, P 是半周长 .2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（ 1）已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理 .（ 2）已知两边及其中一
5、边的对角,求另一边的对角,常选用正弦 定理 .（ 3）已知三边,求三个角,常选用余弦 定理 .（ 4）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦 定理.（ 5）已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦 定理 .3、利用正、余弦定理判定三角形的外形常用方法是：化边为角。化角为边.4、三角形中的三角变换（ 1）角的变换因 为 在 ABC中 , A+B+C=, 所 以sinA+B=sinC。 cosA+B= cosC 。 tanA+B= tanC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABsin2Ccos2AB, cos2Csin。2可编辑资料 - - -
6、欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半（ 3）在 ABC 中,熟记并会证明：A , B, C 成等差数列的充分必要条件是B=60。 ABC 是正三角形的充分必要条件是A , B, C 成等差数列且 a, b,c 成等比数列 .三、解三角形的应用1. 坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度, 用i 表示, 依据定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义可知：坡度是坡角的正切,即itan.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结hl2. 俯角和
7、仰角：如下列图,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为.注：仰角、俯角、方位角的区分是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。4. 方向角：相对于某一正方向的水平角.5. 视角：由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章：数列学问要点一、数列的概念1、数列的概念：一般的,按肯定次序排列成一列数叫做数列 ,数列中的每一个数叫做这个数列的项,
8、数列的一般形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以写成a1, a2, a3, an ,简记为数列an,其中第一项a1也成为 首项。 an 是数列的第 n 项,也叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的 通项 .数列可看作是定义域为正整数集N（或它的子集）的函数,当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（ 1） 有穷数列 ：数列中的项为有限个,即项数有限。（ 2） 无穷数列 ：数列中的项为无限个,即项数无限.3、通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如数列an的第 n 项 an 与项
9、数 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成anfn ,那么这个式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子就叫做这个数列的 通项公式 ,数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特点：一般的,一个数列an,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如从其次项起,每一项都大于它前面的一项,即an 1an ,那么这个数列叫做 递增数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如从其次项起,每一项都小于它前面的一项,即an 1an ,那么这个数列叫做 递减数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如数
10、列an 的各项都相等,那么这个数列叫做常数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式 二、等差数列1、等差数列的概念：假如一个数列从其次项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 an 1and （常数）, 这也是证明或判定一个数列是否为等差数列的依据.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等差数列的通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设等差数列an 的首项
11、为a1,公差为 d ,就通项公式为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1n1 damnm d ,n、mN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等差中项：（ 1）如 a、 A、 b 成等差数列,就 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且A= ab ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）如 数 列 an为 等差 数列 , 就an ,an1, an2 成 等差 数列 ,即an 1 是 an与 an2
12、的 等 差中 项, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1= anan 22。反之如数列an 满意anan 1=an 22,就数列an是等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）等差数列an中,如mnpq m、n、p、qN, 就 amanapaq ,如 mn2 p,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aman2ap 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如数列an和 bn均为等差数列,就数列anbn也
13、为等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）等差数列an的公差为 d ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d0an为递增数列, d0an 为递减数列, d0an 为常数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、等差数列的前 n 项和 Sn ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列an 的前 n 项和Sn = a1a2a3an 1an,nN。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）数列an 的通项与前 n 项
14、和Sn 的关系： anS1,n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）设等差数列an的首项为a1, 公差为 d ,就前 n 项和Sn =n a1an2na1n n1d .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、等差数列前 n 和的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）等差数列an中,连续 m 项的和仍组成等差数列,即a1a2am ,am 1am 2a2m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 m 1a2
15、m 2a3m ,仍为等差数列（即Sm , S2mSm , S3mS2m ,成等差数列） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）等差数列an的前 n 项和Sn =na1n n1d = dn2adn, 当 d0 时, Sn 可看作关于 n 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1222二次函数,且不含常数项。S奇 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如等差数列an共有 2n+1（奇数） 项,就 S奇S偶=an 1中间项 且S偶=, 如等差数列nan共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
16、结S偶an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 2n（偶数）项,就 S偶S奇=nd且=.S奇an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设等差数列an 的首项为a1, 公差为 d ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） a10且d0 （即首正递减）时,Sn 有最大值且Sn 的最大值为全部非负数项之和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） a1
17、0且d0 （即首负递增）时,Sn 有最小值且Sn 的最小值为全部非正数项之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、等比数列1、等比数列的概念：假如一个数列从其次项起,每一项与前一项的比是同一个不为零的常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示（ q0 ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 an 1anq q为非零常数,这也是证明或判定一个数列是否为等比数列的依据.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等比数列的通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设等比数列a的首项为 a ,公比为
18、q ,就通项公式为： aa qn 1a qn m ,nm, n、mN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n1m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等比中项：（ 1）如 a、 A、 b 成等比数列,就 A 叫做 a 与 b 的等比中项,且A2 =ab ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）如 数 列 an为 等比 数列 , 就an ,an1, an2 成 等比 数列 ,即an 1 是 an与 an2 的 等 比中 项, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
19、欢迎下载精品名师归纳总结a2 =aa。反之如数列a满意 a2=aa,就数列 a是等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nn 2nn 1nn 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1 ）等比数列an中,如mnpq m、n、p、qN, 就 am anap aq ,如 mn2 p,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2amanap 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如数列an和 bn均为等比数列,就数列an bn也为等比数列。可编辑资料 - - -
20、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）等比数列an的首项为a1 ,公比为 q ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10或a10an为递增数列,a10a10或an为递减数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q10q10q1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q1an为常数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、等比数列的前 n 项和：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列an 的前 n 项和Sn = a1a2a3an
21、1an,nN。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）数列an 的通项与前 n 项和Sn 的关系： anS1,n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSn 1, n2na1,q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）设等比数列a的首项为 a ,公比为 q q0 ,就 Sa1qn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n1,q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知,已知a1, q, n, an ,Sn中任意三个,便可建立方程组求
22、出另外两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个.6、等比数列的前 n 项和性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设等比数列an 中,首项为a1,公比为 q q0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）连续 m 项的和仍组成等比数列,即 a1a2am , am 1am 2a2m,a2m 1a2m 2a3m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仍为等比数列（即Sm, S2mSm, S3mS2m ,成等差数列） 。可编辑资料 - - - 欢迎
23、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 qnn1 时, Sa1 1qa11qna1a1qna1qna1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a1q1t ,就n1q1q Stqnt .1q1qq1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般的,把数列的如干连续项之间的关系叫做递推关系,把表达递推关系的式子叫做递推公式,而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于任意的数列an恒有：可编辑资料 - - - 欢迎下
24、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） ana1a2a1a3a2a4a3anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） aaa2a3a4an, a0,nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaann1123an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、递推数列的类型以及求通项方法总结：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型一（公式法）：已知Sn （即 a1a2anf n）求an ,用作差法：anS1, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
25、纳总结SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二（累加法）：已知：数列an的首项a1 ,且 an 1anfn ,nN,求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结给递推公式an 1anfn ,nN中的 n 依次取 1,2,3, n-1,可得到下面 n-1 个式子：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1f1 , a3a2f2 , a4a3f3 , anan 1fn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
26、 - 欢迎下载精品名师归纳总结利用公式 ana1a2a1a3a2a4a3anan 1可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1f1f2f3fn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型三（累乘法）：已知：数列an的首项a1 ,且an 1anfn , nN,求 通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结给递推公式an 1anfn , nN中的 n 一次取 1,2,3, n-1,可得到下面 n-1 个式子：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
27、总结a2fa11 , a3a2f2 , a4 a3f3 ,anan 1fn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用公式 aaa2a3a4an, a0, nN可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaan1123an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nana1f1f2f3fn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型四（构造法） ：形如an 1panq 、 an 1panqn （k, b,p,q 为常数）的递推数列都可以用待可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定系数法转
28、化为公比为k 的等比数列后 ,再求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1panq解法 ：把原递推公式转化为：an 1tpant ,其中 tq,再利用换1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结元法转化为等比数列求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1panqn 解法 ：该类型较要复杂一些。 一般的, 要先在原递推公式两边同除以n 1q,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1q n 1p anq qn1 引 入 辅 助 数 列qbn（ 其 中anbnq n）, 得 ：bn 1p 1 再 应 用bnq q可编辑资料
29、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1panq 的方法解决。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型五（倒数法）：已知：数列an的首项a1 ,且 an 1pan, r qanr0, nN,求 通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1pan1qanr1r q1r1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结qanran 1panan 1panpan 1panp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 b1,就b1.brbq ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1an
30、an 1n 1npp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 rp, 就 bbqbb = q ,即数列 b是以 q为公差的等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1npn 1npnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 rp, 就 bn 1rqbn（转换成类型四 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pp五、数列常用求和方法1. 公式法直接应用等差数列、等比数列的求和公式,以及正整数的平方和公式,立方和公式等公式求解.2. 分组求和法一个数列的 通项公式 是由如干个 等差或等比或可求和的数列组成,就求和时可用分组求和法,分别求和而后
31、相加减 .3. 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消 ,于是前 n 项和就变成了首尾少数项之和.4. 错位相减法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的,此时可把式子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1a2an 1an 的两边同乘以公比qq0且q1,得到qSna1qa2qan1qanq ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式错位相减整理即可求出Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、常用公式：
32、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、平方和公式：122222n1nn n12n16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、立方和公式：1323n1 3n3122n1n2n n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、裂项公式：分式裂项：111;1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n1nn1n nkknnk.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根式裂项：1n1n;11nkn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn
33、1nnkk六、数列的应用1、零存整取模型：银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存 ;到商定日期 ,可以取出全部本利和 ,这是整取 .规定每次存入的钱不计复利.注：单利的运算是仅在原本金上运算利息,对本金所产生的利息不再运算利息.其公式为 :利息=本金 利率 存期 .以符号 p 代表本金 ,n 代表存期 ,r 代表利率 ,s 代表本金和利息和即本利和 ,就有 s=p1+nr.零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.2、定期自动转存模型：银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1 年期定期存款 ,1 年后 ,假如储户不取出本利和 .就银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就