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1、精品名师归纳总结概率论学问点总结第一章随机大事及其概率第一节 基本概念随机试验 ：将一切具有下面三个特点： （ 1）可重复性（ 2）多结果性（ 3）不确定性的试验或观看称为随机试验,简称为试验,常用E表示。随机大事 ：在一次试验中,可能显现也可能不显现的事情（结果）称为随机大事,简称为大事。不行能大事 ：在试验中不行能显现的事情,记为。必定大事 ：在试验中必定显现的事情,记为。样本点 ：随机试验的每个基本结果称为样本点,记作.样本空间 ：全部样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用 表示.一个随机大事就是样本空间的一个子集。基本领件 单点集,复合大事 多点集一个随机大事发生,当且仅当该大事所包
2、含的一个样本点显现。大事的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系 ：如大事 A发生必定导致大事B 发生,就称 B 包含 A,记为 BA或 AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相等关系 ：如 BA且 AB ,就称大事 A 与大事 B 相等,记为 A B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大事的和 ：“大事 A 与大事 B 至少有一个发生 ”是一大事, 称此大事为大事A 与大事 B 的和大事。记为 A B。大事的积 ：称大事 “大事 A 与大事 B 都发生 ”为 A 与 B 的积大事,记为 A B 或 AB。大事的差 ：称大事 “大事 A 发生而大事 B 不发
3、生”为大事 A 与大事 B 的差大事 , 记为 A B。用交并补可以表示为ABAB 。互斥大事 ：假如 A, B 两大事不能同时发生,即AB ,就称大事 A 与大事 B 是互不相容事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件或互斥大事。互斥时A B 可记为 A B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对立大事 ：称大事 “A 不发生 ”为大事 A 的对立大事（逆大事） ,记为 A 。对立大事的性质：AB, AB。大事运算律：设 A,B, C 为大事,就有（1） 交换律： A B=B A, AB=BA（2） 结合律： A B C=A B C=A B CABC=ABC=ABC（
4、3）安排律： A BC A BA CAB CA B A C= AB AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）对偶律（摩根律） ： AB ABABAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次节 大事的概率概率的公理化体系：（1）非负性： PA 0。（2） 规范性： P 1（3） 可数可加性： A1A2An两两不相容时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P A1A2AnP A1 P A2 P An 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概率的性质：（1
5、） P 0（2）有限可加性： A1A2An 两两不相容时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P A1A2An P A1P A2P An 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 AB= 时 PA B PA PB（3） P A1P A（4） PAB PA PAB（5） P（ A B） PA PB PAB第三节 古典概率模型1、设试验 E 是古典概型 ,其样本空间 由 n 个样本点组成 , 大事 A 由 k 个样本点组成 . 就定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义大事 A 的概率为P Akn可编辑资料 - - -
6、 欢迎下载精品名师归纳总结2、几何概率： 设大事 A 是 的某个区域, 它的面积为A ,就向区域 上随机投掷一点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结该点落在区域 A的概率为P A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如样本空间 可用一线段,或空间中某个区域表示,就大事A 的概率仍可用上式确定, 只不过把 懂得为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在大事B 发生的条件下,大事A 发生的概率称为条件概率,记作PA|B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P A | BP AB PB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘法公式： PAB=P
7、BPA|B PAPB|A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全概率公式：设A1 , A2 , An 是一个完备大事组,就PB= PAi PB|Ai 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结贝叶斯公式：设A1 , A2 , An 是一个完备大事组 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Ai| BP Ai BP BP Ai P B | Ai P Aj PB | Aj 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第五节 大事的独立性两个大事的相互独立：如两大事A
8、、B 满意 PAB= PA PB,就称 A、 B独立,或称 A、B相互独立 .三个大事的相互独立：对于三个大事A、B、C,如 PAB= PA PB, PAC= PAPC,PBC= PB PC,PABC= PA PBPC,就称 A、B、C 相互独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三个大事的两两独立：对于三个大事A、B、C,如 PAB= PA PB, PAC= PAPC,PBC= PB PC,就称 A、B、 C 两两独立独立的性质：如 A 与 B 相互独立,就 A 与 B, A 与 B , A 与 B 均相互独立总结： 1. 条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有亲密的关系,在
9、不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。 2. 乘法公式、 全概公式、 贝叶斯公式在概率论的运算中常常使用, 应坚固把握。 3. 独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确懂得并应用于概率的运算。其次章 一维随机变量及其分布其次节 分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布函数： 设 X 是一个随机变量, x 为一个任意实数, 称函数F xP Xx 为 X 的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数。假如将X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数Fx的值就表示X 落在区间, x 内的概率分布函数的性质： （ 1）单调不减。 （ 2）右连续。（ 3） F 0, F
10、 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk k=1,2, 是离散型随机变量X 所取的一切可能值,称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xxk pk 为离散型随机变量X的分布律,也称概率分布.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布律的性质： （ 1） 0pk1。（ 2）pk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结离散型随机变量的概率
11、运算：（1） 已知随机变量 X 的分布律,求 X 的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xP Xxxk xP xk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 已知随机变量 X 的分布律 ,求任意随机大事的概率。（3） 已知随机变量 X 的分布函数,求 X 的分布律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xxk F xk F xk0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三种常用离散型随机变量的分布：1. （ 0 1）分布：参数为 p 的分布律为P X1p, P Xk01p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
12、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 二项分布：参数为n,p 的分布律为P Xkk pk 1p n, k0,1,2,n 。例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cn如 n 重独立重复试验中,大事A发生的概率为 p,记 X 为这 n 次试验中大事A 发生的次数, 就 X B（ n, p）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 泊松分布： 参数为 的分布率为P Xkke, kk.0,1,2,。例如记 X 为某段事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件内电话交换机接到的呼叫次数,就XP（）第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度fx的性质（1） fx0a可编
13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）f x dx1 , P Xaf xdx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） P aXbP aXbP aXbP aXbbf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）f xF x, F xxf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型随机变量的概率运算：（1） 已知随机变量 X 的密度函数,求 X 的分布函数。F xxf x dx可编辑资料 -
14、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 已知随机变量 X 的分布函数,求 X 的密度函数。f xF x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 已知随机变量 X 的密度函数 ,求随机大事的概率。P aXbbf x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 已知随机变量 X 的分布函数,求随机大事的概率。P aXbF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三种重要的连续型分布：可编辑资料 - - -
15、欢迎下载精品名师归纳总结1. 匀称分布：密度函数f x1axba0elseb ,记为 X Ua , b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 指数分布：密度函数f xexx0x0,记为 X E（）0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 正态分布：密度函数f x x21e2 22,记为X N ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N（0,1）称为标准正态分布. 标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再运算
16、概率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P aXbF bF a ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第五节 随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出。连续型： 查找分布函数间的关系, 再求导得到密度函数间的关系。留意分段函数情形可能需要争论,得到的结果也可能是分段函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FY yPYyP g X yP XG yF G y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联合分布函数F x, yP Xx,
17、Yy ,表示随机点落在以（ x ,y）为顶点的左下无穷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩形区域内的概率。 联合分布函数的性质：（1） 分别关于 x 和 y 单调不减。（2） 分别关于 x 和 y 右连续。（3） F - , y = 0,F x ,- =0,F-,- = 0 F +,+ = 1其次节 二维离散型随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联合分布律：P Xxi , Yy j pij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联合分布律的性质：p ij0 。pij1ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品名师归纳总结第三节 二维连续性随机变量yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联合密度：F x, ydvfu, v du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联合密度的性质：f x, y0 。f x, ydxdyR21。 P x, yDf x, ydxdyD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘,对应概率相加求出。二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数,在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性独立性判定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 如X ,Y取值互不影响,可认为相
19、互独立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 依据独立性定义判定F x, yF X xFY y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结离散型可用pijpi . p. j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型可用f x, yf X xf Y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结独立性的应用： （ 1）判定独立性。 （ 2）已知独立性,由边缘分布确定联合分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
20、总结第四章 随机变量的数字特点离散型随机变量数学期望的运算EXxk pkk, E g X g xk pkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续型随机变量数学期望的运算EXxf xdx , E g X g xf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方差的运算： DXE XEX 2 , DXE X 2 E 2 X 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学期望的性质（1） E C = C（2） E CX = CE X （3） E X + Y = E X + E Y （4）当 X ,Y独立时, E X Y = E X E Y 方差的性质（1） D C = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） D CX =C 2 DX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 如 X ,Y相互独立,就D XY = D X + D Y 常见分布的数学期望和方差两点分布,二项分布,泊松分布,匀称分布,正态分布,指数分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Welcome ToDownload .欢迎您的下载,资料仅供参考！可编辑资料 - - - 欢迎下载