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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流概率论知识点.精品文档.第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科，是近代数学的重要组成部分，同时也是近代经济理论的应用与研究的重要数学工具。（一）随机试验的概念为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察。观察的过程称为试验。概率论里所研究的试验成为随机试验，随机试验具有下列特点：（1）在相同的条件下试验可以重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。（二）随机事件的概念在概率论中，将试验的
2、结果称为事件。每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件），简称为事件。通常用大写拉丁字母、等表示。在随机事件中，有些可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能分解为其它事件的组合。这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。例如，掷一颗骰子的试验中，其出现的点数，“1点”、“2点”、“6点”都是基本事件。“奇数点”也是随机事件，但它不是基本事件。它是由“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的，只要这三个基本事件中的一个发生，“奇数点”这个事件就发生。每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用符号表示,每次试验中一定不
3、发生的事件称为不可能事件，用符号表示。例如，在上面提到的掷骰子试验中，“点数小于7”是必然事件。“点数不小于7”是不可能事件。（二）事件的集合与图示研究事件间的关系和运算，应用点集的概念和图示方法比较容易理解，也比较直观。对于试验的每一个基本事件，用只包含一个元素的单点集合表示；由若干个基本事件复合而成的事件，用包含若干个相应元素的集合表示；由所有基本事件对应的全部元素组成的集体集合称为样本空间。由于任何一次试验的结果必然出现全部基本事件之一，这样，样本空间作为一个事件是必然事件，仍以表示。每一个基本事件所对应的元素称为样本空间的样本点。因而，可以把随机事件定义为样本点的某个集合。称某事件发生
4、，就是当且仅当属于该集合的某一个样本点在试验中出现。不可能事件就是空集。必然事件就是样本空间。于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来解释。为了直观，人们还经常用图形表示事件。一般地，用平面上某一个方（或矩）形区域表示必然事件，该区域内的一个子区域表示事件。（三）事件间的关系及其运算1. 事件的包含如果事件发生必然导致事件发生，即属于的的每一个样本点也都属于，则称事件包含事件，或称事件含于事件。记作的一个等价说法是：如果不发生，必然导致也不会发生。显然对于任何事件，有2. 事件的相等如果事件包含事件，事件也包含事件，称事件与相等。即与中的样本点完全相同。记作3. 事件的并（和）两个事件、中
5、至少有一个发生，即“或”的所有样本点构成的集合。记作 或 个事件中至少有一个发生，是一个事件，称为事件的和，记作或 可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生，记作4. 事件的交（积）两个事件与同时发生，即“且”，是一个事件，称为事件与的交。它是由既属于又属于的所有公共样本点构成的集合。记作 或 5. 事件的差事件发生而事件不发生，是一个事件，称为事件与的差。它是由属于但不属于的那些样本点构成的集合。记作6. 互不相容事件如果事件与不能同时发生，即，称事件与互不相容（或称互斥）。互不相容事件与没有公共的样本点。显然，基本事件间是互不相容的。7. 对立事件事件“非”称为的对立事件（或逆事件
6、）。它是由样本空间中所有不属于的样本点组成的集合。记作显然，。8. 完备事件组若事件为两两互不相容的事件，并且称构成一个完备事件组。各事件的关系及运算如图1-1中图形所示。图1-1例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件表示“奇数点”；表示“点数小于5”;表示“小于5的偶数点”。用集合的列举表示法表示下列事件：例2从一批产品每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件表示第次取到合格品。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中最多有一次取到合格品。解: 三次全取到合格品：；三次中至少有一次取到合格品：；三次中
7、恰有两次取到合格品：三次中至多有一次取到合格品：例3 一名射手连续向某个目标射击三次，事件表示该射手第次射击时中目标。试用文字叙述下列事件：解：前两次中至少有一次击中目标：第二次射击未击中目标；：三次射击中至少有一次击中目标；：三次射击都击中了目标；：第三次击中但第二次未击中目标；：前两次均未击中目标；：后两次中至少有一次未击中目标；：三次射击中至少有两次击中目标；1.2概率概率论研究的是随机现象量的规律性。因此仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的可能性大小的问题进行量的描述。（一）概率的统计定义前面提到随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，它的发生
8、却具有统计规律性。所以应从大量试验出发来研究它。为此，先看下面的试验：掷硬币10次，“正面”出现6次，它与试验总次数之比0.6;掷骰子100次，“1点”出现20次，与试验总次数之比为0.2。可见，仅从事件出现的次数，不能确切地描述它出现的可能性的大小，还应考虑它出现的次数在试验总次数中所占的百分比。在次重复试验中，若事件发生了次，则称为事件发生的频率。同样若事件发生了次，则事件发生的频率为。如果中必然事件，有,即必然事件的频率是1。显然，不可能事件的频率一定为0，而一般事件的频率必在0与1之间。如果事件与互不相容，那么事件的频率为。它恰好等于两个事件频率的和。这称之为频率的可加性。前人掷硬币试
9、验的一些结果列于结果列于表1-1。试验者抛掷次数正面出现次数正面出现频率德摩尔根蒲丰皮尔逊皮尔逊维 尼2048404012000240003000010612048601912012149940.5180.50690.50160.50050.4998由表1-1看出，出现正面的频率按近0.5，并且抛掷次数越多，频率越按近0.5。经验告诉人们，多次重复同一试验时，随机现呈现出一定的量的规律。具体地说，就是当试验次数很大时，事件的频率具有一种稳定性。它的数值徘徊在某个确定的常数附近。而且一般说来，试验次数越多，事件的频率就越接近那个确定的常数。这种在多次重复试验中，事件频率稳定性的统计规律，便是概率
10、这一念的经验基础。而所谓某事件发生的可能性大小，就是这个“频率的稳定值”。定义1.1 在不变的条件下，重复进行次试验，事件发生的频率稳定地在某一常数附近摆动。且一般说来，越大，摆动幅度越小，则称常数为事件的概率，记作。数值 (即)就是在一次试验中对事件发生的可能性大小的数量描述。例如，用0.5来描述掷一枚匀称的硬币“正面”出现的可能性。如上所述怕实奈榷允歉怕实木榛。皇撬蹈怕示龆谑匝椤桓鍪录母怕释耆龆谑录旧淼慕峁梗窍扔谑匝槎凸鄞嬖诘摹?/SPAN（二）概率的古典定义直接计算某一事件的概率有时是非常困难的，甚至是不可能的。仅在某些情况，才可以直接计算事件的概率。请看下面类型的试验： （1）抛掷一枚
11、匀称的硬币，可能出现正面与反面两种结果，并且这两种结果出现的可能性是相同的。 （2）200个同型号产品中有6个废品，从中每次抽取3个进行检验，共有种不同的可能抽取结果，并且任意3个产品被取到的机会相同。这类试验的共同特点是：每次试验只有有限种可能的试验结果，即组成试验的基本事件总数为有限个；每次试验中，各基本事件出现的可能性完全相同。具有上述特点的试验称为古典概型试验。在古典概型试验中，假定能够知道有利于某一事件的基本事件数，就可以通过这个数与试验的基本事件总数之比计算出概率。定义1.2 若试验结果一共由个基本事件组成，并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件由其中某个基本事件组成，则事件的
12、概率可以用下式计算：（其中:有利于的基本事件数,:试验的基本事件总数）这里构成一个等概完备事件组。（三）计算概率的例题例1 袋内装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成试验的基本事件总数，组成所求事件（取到两个白球）的基本事件数，由公式有：例2一批产品共200个，有6个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个是废品的概率；（3）任取3个全非废品的概率。解：设分别表示（1）、（2）、（3）中所求的概率，根据公式，有：例3 两封信随机地向标号为、的4个邮筒，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解： 设事件表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机
13、地投入4个邮筒，共有种等可能投法，而组成事件的不同投法只有种。由公式有：同样还可以计算出前两个邮筒中各有一封信的概率：课后作业1.互不相容事件与对立事件的区别何在？在出下列各对事件的关系。（5）20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品；（6）20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品。2.同时掷两颗骰子，分别是表示第一、二两颗骰子出现了点数，设事件表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，表示“点数之差为零”，为“点数之积不超过20”，用样本点的集合表示事件;。1.3概率的加法法则加法法则 两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和。即当时， (1.2)实际上，只要, (1.2) 式就成立。
14、由加法法则可以得到下面几个重要结论：(1)如果个事件两两互不相容，则 (1.3) 这个性质称为概率的有限可加性。(2)若个事件构成一个完备事件组，则它们概率的和为1，即 (1.5)特别地，两个对立事件概率之和为1，即经常使用的形式是 (1.6)(3)如果，则 (1.7)(4)对任意两个事件、，有 (1.8) (1.8)式又称广义加法法则。我们不难把它推广到任意有限个事件的和。这个公式的推广及四个结论的证明留给读者完成。例3 产品有一、二等品及废品3种，若一、二等品率分别为0.63及0.35，求产品的合格率与废品率。解 令事件表示产品为合格品，、分别表示一、二等品。显然与互不相容，并且，由(1.
15、2)式，有例4 一个袋内装有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球。从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。解 设事件表示抽到的3个球中有个白球，显然与互不相容，由1.1式有：根据加法法则，所求的概率为：例5 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，求其中有废品的概率。解 设事件表示取到的3个中有废品，则1.4条件概率与乘法法则（一）条件概率在1.3的例1中，若从合格品中任取一件，取到一等品的概率是，这是合格品中的一等品率。而该例中的，即是整批产品中的一等品率。定义1.3在事件已经发生的条件下，事件发生的概率，称为事件在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作。相应地
16、，把称为无条件概率。这里，只研究作为条件的事件具有正概率的情况。可以验证，条件概率也是一种概率，它有概率的三个基本属性。例1 市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解依题意进一步可得：（二）乘法法则乘法法则 两个事件、之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 (1.10)相应地，关于个事件的乘法公式为 (1.11)例3市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂
17、的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。解 要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的（事件发生），又是合格的（事件发生）概率，也就是求与同时发生的概率。由（1.10）式，有同样方法还可以计算出从市场买到一个乙厂合格灯泡的概率是0.24。读者可以思考，它为什么不是。读者还可以计算买到的一个灯泡是乙厂生产的废品的概率以及市场上供应的灯泡的合格率。例4 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。解 设事件、分别表示甲、乙、丙各抽到
18、难签。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有读者计算乙抽到难签的概率以及丙抽到难签的概率。(三)全概率定理与贝叶斯定理例5市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。计算本中市场上灯泡的合格率。解 由于,并且与互不相容，由（1、2）及（1.10）式，有：定理1.1(全概率定理)如果事件构成一个完备事件组，并且都具有正概率，则对任何一个事件，有 (1.12)证 由于两两互不相容，因此，也两两互不相容。而且由加法法则有再利用乘法法则，得到例6 12 个乒乓球都
19、是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。解 设事件分别表示第一、二、三次比赛时取到个新球。显然，并且构成一个完备事件组，由（1.1）式有定理1.2(贝叶斯定理) 若构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件，有例7假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。解设事件表示“产品为次品”，分别表示“产品为甲、乙、丙车间生产的”。显然，构成一个完备事件组。依题意，有由（1.13）式，有课
20、后习题10. 掷3枚硬币，求出现3个正面的概率。11. 100个产品中有3个次品，任取5个，求其次品数分别为0、1、2、3的概率。19. 由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（用B表示）的概率为7/15 ，既刮风又下雨的概率为1/10，求、，.21. 10考签中有4个难签，3人参加抽签考试，有重复地抽取，每人一次，甲先、乙次、丙最后，证明3人抽到难签的概率相等。1.5独立试验概型（一）事件的独立性定义1.4如果事件发生的可能性不受事件发生与否的影响，即，则称事件对于事件独立。显然，若对于独立，则对于也一定独立，称事件与事件相互独立。定义1.5如果个事件中任
21、何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称相互独立。关于独立性的几个结论如下：（1）事件与独立的充分必要条件是（2）若事件与独立，则与、与、与中的每一对事件都相互独立。（3）三个事件的相互独立若事件相互独立，则有例1甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工作照管的概率分别为0.9、0.8 及0.85。求在这段时间内有机床需要工作照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。解 用事件、分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙不需工人照管。依题意，、相互独立，并且例2 若例1中的3部机床性能相同，设,求这段时间内恰有一部机床需人照管的概率。解 3部机床中某
22、1部需要照管而另两部不需照管的概率都是。而“3部中恰有1部需人照管”用事件表示，需要照管的机床可以是这3部中的任意1部，因此共有3种可能，即（二）独立试验序列概型在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。进行次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这次试验是相互独立的。例4 一批产品的废品率为0.1，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取1个，共重复3次，求3次中恰有再次取到废品的概率。解 设3个中恰有再次取到废品的事件用表示。每次抽取 1个产品，重复抽取3次的全部结果有8种情况。设， 并且两两互不相容，因此定理1.3(贝努
23、里定理) 设一次试验中事件发生的概率为，则重贝努里试验中，事件恰好发生次的概率为其中 。例6 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10件，求至少有两件一级品的概率。解 设所求事件的概率为,每一件产品可能是一级品也可能不是一级品，各个产品是否为一级品是相互独立的。由（1.16）式，有课后作业31. 甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概为0.7，两人同时射击，并假定中靶与否是独立的。求（1）两人都中靶的概率；（2）甲中乙不中的概率；（3）甲不中乙中的概率。32. 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为0.6，在车间的分机占线的概率为0.3，假定
24、二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率。33. 加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出废品为独立的，求经过三道工序而不出废品的概率。第二章随机变量及其分布2.1随机变量的概念在第一章中，介绍了随机事件及其概率。可以看到很多随机事件都可以采取数量的标识。比如，某一段时间内在车间正在工作的车床数目，抽样检查产品质量时出现的废品个数，掷骰子出现的点数等等。对于那些没有采取数量标识的事件，也可以给它们以数量标识。比如某一工人一天“完成定额”记为1，“没完成定额”记为0；生产的产品是“优质品”记为2，是“次品”记为1，是“
25、废品”记为0等等。这样一来，对于试验的结果就都可以给予数量的描述。由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性。如果对于试验的每一可能结果，也就是一个样本点，都对应着一个实数，而又是随着试验结果不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。随机变量一般用希腊字母、或大写拉丁字母等表示。例如：（1）一个射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记0分。如果用表示射手在一次击中得分，则它是一个随机变量，可以取 0和1两个可能值。（2）某段时间内候车室的旅客数目记为，它是一个随机变量，可以取0及一切不大于的自然数，为候车室的最大容量。（3）单位面积上某农作物的产量是一个随机变量。它可以取一个区间内的一切
26、实数值，即为某一个常数。 (4)一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是一个随机变量，可以取任何实数，即。显然随机变量是建立在随机事件基础上的一个概念。既然事件发生的可能性对应于一定的概率，那么随机变量也以一定的概率取各种可能值。按其取值情况可以把随机变量分为两类：（1）离散型随机变量可能取有限个或无限可列个值；（2）非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。非离散型随机变量范围很广，情况比较复杂，其中最重要的在实际中常遇到的连续型随机变量。本书只研究离散型及连续型随机变量两种。2.2随机变量的分布（一）离散型随机变量的分布定义2.1如果随机变量只取有
27、限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。为直观起见，将可能取的值及相应概率列成概率分布表（见表2-1）表2-1此外，的概率分布情况也可以用一系列等式表示： (2.1)其中构成一个完备事件组。此时，（2.1）式称为随机变量的概率函数（或概率分布）。概率函数具有下列基本性质：一般所说的离散型随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表。例1 一批产品的废品为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量来描述废品出现的情况。即写出的分布。解 这个试验中，用表示废品的个数，显然只可能取0及1两个值。表示“产品为合格品”，其概率为这批产品的合格率，即 ，而表示“产品是废品
28、”，即，列成概率分布表如表2-2所示。表2-2095%15%也可以用下述等式表示：两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布，称为两点分布。其概率函数为0-1分布：只取0和1两个值的随机变量所服从的分布，称为0-1分布。其概率函数为它的概率分布图如图2-1所示。例2 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和废品率分别为60%、10%、20%、10%，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果并画出其概率函数图。解 令与产品为相对应，与产品为“废品”相对应。是一个随机变量，它可以取0、1、2、3这4可能值。依题意，列成概率分布表如表2-3：如表2-3：00.110.620.
29、130.2其概分布图如图2-2。例3 用随机变量去描述郑一颗骰子的试验情况。解 令表示掷一颗骰子出现的点数，它可以取1到6共6个自然数，相应概率都是1/6。列成概率分布表如表2-4所示，其概率分布图如图2-3所示。表2-411/621/631/641/651/661/6如果有概率函数：且当时，则称服从离散型均匀分布。例4 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买1张，直至中奖为止。求该人购买次数的分布。 解 表示第一次购买的奖券中奖，依题意;表示购买两次奖券，但第一次未中奖，其概率为，而第二次中奖，其概率为由于各期奖券中奖与否是相互独立的，所
30、以;表示购买次，前次都未中奖，而第次中奖，。由此得到的概率函数为 (2.4)不难验证，称具有形如（2.4）式概率函数的随机变量服从几何分布。（二）随机变量的分布函数定义2.2若 是一个随机变量（可以是离散型的，也可以是非离散型的），对任何实数,令称是随机变量的分布函数。即事件的概率是的一个实函数。对任意实数 ，有故 因此，若已知的分布函数，就能知道在任何一个区间上取值的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的变化情况，它具有下面几个性质：(1) ，对一切成立；(2) 是的不减函数；(3)(4) 至多有可列个间数点，而在其间断点上也右连续的。例6求本节例1中的分布函数。解 在例1中，
31、的分布如前面表2-2所示。对于一般的0-1分布，其分布函数为其中为取值为1的概率。例7 求例3中的分布函数。解分布函数与概率函数满足关系：由图2-4及图2-5可见，离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲线。它在的一切有概率（指正概率）的点都有一个跳跃，其跃度为取值的概率。而在分布函数的任何一个连续点上，取值的概率都是零，这一点对连续型随机变量也是成立的。（三）连续型随机变量的分布尽管分布函数是描述各种类型机变量变化规律的最一般的共同形式。但由于它不够直观，往往不常用。比如，对于离散型随机变量，用概率函数来描述既简单又直观。对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。定义2.3 对
32、于任何实数,如果随机变量的分布函数可以写成其中，则称为连续型随机变量。称为的概率分布密度函数，也常写为。它具有下列两个最基本的性质： (3)， 这表明， 不是 取值的概率，而是它在 点概率分布的密集程度。但是 大小能反映出 在 附近取值的概率大小。因此，对于连续型随机变量，用密度函数描述它的分布比分布函数直观。以后一般用概率函数和概率分布密度函数来分别描述离散型和连续型随机变量。例9 若 有概率密度则称 服从区间上的均匀分布。试求。解 由（2.8）式，有例10 已知连续型随机变量有概率密度求系数及分布函数，并计算解 在本节最后，给出随机变量一个一般定义：课后作业1. 用随机变量来描述掷一枚硬币
33、的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。2. 如果服从0-1分布，又知取1的概率为它取0的概率的两倍。写出的分布律和分布函数。4. 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半。从这批产品中随机地抽取一个检验质量，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的概率函数。11. 已知求的分布函数。2.4随机变量函数的分布我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得到（如滚珠体积的测量值等），但是与它们有关系的另一些随机变量，其分布却是容易知道的（如滚珠直径的测量值）。因此，要研究随机变量之间的关系，从而通过它们之间的关系，由已知的随机变量的分布求出与之有关的另一个随机变量
34、的分布。定义2.10设是定义在随机变量的一切可能值的集合上的函数。如果对于的每一可能取值，有另一个随机变量的相应取值。则称为的函数，记作。我们的任务是，如何根据的分布求出的分布，或由 的分布求出的分布。下面分离散型和连续型两种情况讨论。(一)离散型随机变量函数的分布例1 测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量（为简便起见把它看成是离散型的）。的布如表2-11表2-1190.2100.3110.4120.1求周长和面积的分布律。解 和都是的函数，且。事件即相等，故依此计算，可得表2-12表2-12 360.2400.3440.4480.1同样地的分布律如表2-13所示。表2-13810.21
35、000.31210.41440.1例2 的分布如表2-14 表2-14-10.200.110.31.50.330.1求的分布。解事件分别与事件相等，其概率当然分别相等。事件与两个互斥事件 的和相等，其概率是这两个事件概率的和。的分布如表2-15所示。表2-1500.110.52.250.390.1课后作业30、测量一矩形土地的长与宽，测量结果得到如表2-28、表2-29所示的分布律（长与守宽相互独立），求周长的分布。表2-28 长度290.3300.5310.2表2-29 宽度190.3200.4210.3第三章随机变量的数字特征前一章介绍了随机变量的分布，它是对随机就是的一种完整的描述。然而
36、实际上，求出分布率并不是一件容易的事。在很多情况下，人们并不需要去全面地考察随机变量的变化情况，而只要知道随机变量的一些综合指标就够了。例如，在测量某零件长度时，由于种种偶然因素的影响，零件长度的测量结果是一个随机变量。一般关心的是这个零件的平均长度以及测量结果的精确程度。即测量长度对平均值的偏离程度。又如检查各批棉花的质量时，人们关心的不仅是棉花纤维的平均长度，而且还关心纤维长度与平均长度之差，在棉花纤维的平均长度一定的情况下，这个差愈大，表示棉花质量愈低。由上面例子看到，需要引进一些用来表示上面提到的平均值和偏离程度的量。这些与随机变量有关的数值，虽然不变量的数字特征就是用数字表示随机变量
37、的分布特点。本章将介绍最常用的两种数字特征。3.1数学期望对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的各有1根，则它们的平均抗拉强度指标为从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取到的6个值的简单平均，而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（频率）为权重的加权平均。定义3.1离散型随机变量有概率函数：,若级数绝对收敛，则称这级数为的数学期望，简称期望或均值。记为，即 （3.1）对于离散型随机变量，就是的各可能值与其对应概率乘积的和。由此可见，的观测值的算术平均值，也就是
38、其频率分布的算术平均值。它与理论分布的数学期望的计算方法是完全相似的。这里只是用试验中的频率代替了对应的概率。而当试验次数很大时，事件“”；发生的频率在对应的概率的附近摆动，所以随机变量观测值的算术平均值也将在它的期望值附近摆动。例1若服从0-1分布，其概率函数为，求解 例2甲、乙两名射手在一次射击中得分（分别用表示）的分布律如表3-2、表3-3所示。表3-2 表 3-3试比较甲、乙两射手的技术。 解 这表明，如果进行多次射击，他们得分的平均值分别是2.1和2.2，故乙射手较甲射手的技术好。例3一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.
39、04，若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元及0元。求产品的平均产值。解产品产值是一个随机变量，它的分面律如表3-4：表 3-4因此定义3.2设连续型随机变量有概率密度，若积分绝对收敛，则 （3.2）称为的数学期望。这就是说，连续型随机变量的数学期望是它的概率密度与实数的乘积在无穷区间上的广义积分。例4计算在区间上服从均匀分布的随机变量的数学期望。解依题意，故 习题讲评11. 已知求的分布函数。解：依题意得课后作业1. 如果服从0-1分布，又知取1的概率为它取0的概率的两倍，求随机变量的期望值。3. 测量一圆形物体的半径，其分布如表所示，计算圆半径的期望值；100.1110.4120.313
40、0.24. 连续型随机变量的概率密度为又知求和的值。3.2数学期望的性质（1）常量的期望就是这个常量本身，即。证 常量可以看作是以概率1只取一个值的随机变量。所以。（2）随机变量与常量之和的数学期望等于的期望与这个常量的和。证：设是连续型随机变量，其概率密度是。令，不难计算出的概率密度，由定义3.2有令 ，则（3）常量与随机变量乘积的期望等于这个常量与随机变量期望的乘积。（4）随机变量线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。证：（5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和。（3.4）关于随机变量函数的数学期望，这里只介绍两个重要的公式而不加以证明。如果是离期型随
41、机变量，有概率函数则它的函数的数学期望可按下面公式计算： （3.6）如果是连续型随机变量，有概率密度，则的期望可按下面公式计算： （3.7）如果用定义计算，需要先找出的分布，然而，求的分布有时是很麻烦的。公式（3.6）及（3.7）说明，可以直接利用的期望（我们假定存在。）例2 计算上例中的。解: 例4 某种无线电元件的使用寿命是一个随机变量,其概率密度为其中，求这种元件的平均使用寿命。解: 例5 据统计，一位40岁的健康(一般体检未发现病症)者，在5年之内活着或自杀死亡的概率为。保险公司开办5年人寿保险，参加者需交保险费元(已知)，若5年之内非自杀死亡，公司赔偿元。应如何定才能使公司可期望获益
42、；若有人参加保险,公司可期望从中收益多少？解: 设表示公司从第个参加者身上所得的收益，则是一个随机变量，其分布如下(见表3-6)：表 3-6公司期望获益为，而3.4方差（一）方差的概念先看两个例子。设甲、乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为(为简便起见,假定它们只取离散值)，并有如下分布律(见表3-7、表3-8):表 3-7800.2850.2900.2950.21000.2表 3-8850.287.50.2900.292.50.2950.2由计算可知,两炮有相同的期望值,但比较两组数据可知乙炮较甲炮准确。因为它的弹着点比较集中。又如有两批钢筋,每批各10根，它们的抗拉强度指标如下:第一批:110 120 120 125 125 125 130 130 135 140第二批: 90 100 120 125 130 130 135 140 145 145它们的平均抗拉强度指标都是126。但是,使用钢筋时,一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115)。那么,第二批钢筋的抗拉强度指标与其平