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1、第二章第二章 函数函数 现实世界充满变化，函数是描述变化规律的现实世界充满变化，函数是描述变化规律的重要数学模型。用函数的思想研究问题，是一种重要数学模型。用函数的思想研究问题，是一种重要的观念。重要的观念。 本章在复习初中函数知识的基础上，用集合、本章在复习初中函数知识的基础上，用集合、对应的观点研究函数，加深对函数概念的理解，对应的观点研究函数，加深对函数概念的理解， 函数的概念及思想方法将贯穿高中数学课程函数的概念及思想方法将贯穿高中数学课程的始终，渗透到数学的各个领域。的始终，渗透到数学的各个领域。生活中的变量关系生活中的变量关系 世界是变化的世界是变化的. .变量及变量之间的依赖关系
2、在生活变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见中随处可见. .我们在初中学习过的函数就描述了因变量我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系随自变量而变化的依赖关系. .引入新课 初中学习过的函数描述了两个变量初中学习过的函数描述了两个变量: :因变量因变量y y与与自变量自变量x x之间什么样的依赖关系？之间什么样的依赖关系？回忆巩固 设在一个变化过程中有两个变量设在一个变化过程中有两个变量x x与与y, y, 如果对于如果对于x x的的每一个值每一个值, y, y都有都有唯一的值唯一的值与它对应与它对应, , 那么就说那么就说y y是是x x的的函数函数. . x x叫做
3、叫做自变量自变量. . 函数关系函数关系在高速公路的情境下在高速公路的情境下, ,你能发现哪些函数关系你能发现哪些函数关系? ? 我国的道路交通网，近十几年的发展非常迅速我国的道路交通网，近十几年的发展非常迅速. . 1. 1.我国自我国自19881988年开始建设高速公路以来，全国高速公年开始建设高速公路以来，全国高速公路总里程，于路总里程，于19981998年底，位居世界第八；年底，位居世界第八；19991999年底，位年底，位居世界第四；居世界第四；20002000年底，位居世界第三；年底，位居世界第三；20012001年底，超年底，超过了加拿大，跃居世界第二位；过了加拿大，跃居世界第二
4、位；20112011年底，年底，8.58.5万公里，万公里，仍是世界第二位。仍是世界第二位。实例分析1988-20011988-2001年全国高速公路总里程年全国高速公路总里程 （单位：（单位：kmkm）年份年份19881988198919891990199019911991199219921993199319941994总里程总里程1471472712715225225745746526521145114516031603年份年份19951995199619961997199719981998199919992000200020012001总里程总里程21412141342234224771
5、4771873387331160511605165141651419453194531988-20011988-2001年全国高速公路总里程年全国高速公路总里程 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 高速公路里程数随年份的变化而变化高速公路里程数随年份的变化而变化. .所所以，高速公路里程数可以看成因变量，年份以，高速公路里程数可以看成因变量，年份看成自变量，从而高速公路里程数是年份的看成自变量，从而高速公路里程数是年份的函数函数. . 2. 2.一辆汽车在高速公路上行驶的
6、过程中，每个时刻一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应都有唯一的行驶路程与它对应. .行驶路程（因变量）随时行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数. .同同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数. . 3. 3.高速公路旁的加油站高速公路旁的加油站. .加油站常用圆柱体储油罐存加油站常用圆柱体储油罐存汽油汽油. .储油罐的长度储油罐的长度d d，截面半径，截面半径r r是常量；油面高度是常量；油面高度h h，油面宽度油面宽度w w，储油量，储油量v v是变
7、量是变量. . 并非所有依赖关系的两个变量都有函数关系并非所有依赖关系的两个变量都有函数关系. .只有满只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系. . 储油量储油量v v与油面高度与油面高度h h存在着依赖关系，储油量存在着依赖关系，储油量v v与油与油面宽度面宽度w w也存在着依赖关系，但并非函数关系。也存在着依赖关系，但并非函数关系。 对于油面高度对于油面高度h h的每一个取值，都有唯一的储油量的每一个取值，都有唯一的储油量v v与之对应，所以，
8、储油量与之对应，所以，储油量v v是油面高度是油面高度h h的函数的函数. .而对于而对于油面宽度油面宽度w w的一个值可以有两种油面高度和它对应，于的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量是可以有两种储油量v v和它对应，所以，储油量和它对应，所以，储油量v v不是油不是油面宽度面宽度w w的函数的函数. .注注 意意 并非有依赖关系的两个变量都有函数关系并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.问题问题如何判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系？首先，确定因变量和自变量；首先，确定因变量和自变量；其次，判断对于自变量的每一个确定的值，其次，判断对于自变量的每一个确定的值，因
9、变量是否有唯一确定值与之对应，若满因变量是否有唯一确定值与之对应，若满足则是函数关系，否则不是足则是函数关系，否则不是1.1.进一步分析上述储油罐问题进一步分析上述储油罐问题, ,讨论讨论: :(1)(1)还有哪些常量还有哪些常量? ? 哪些变量？哪些变量？(2)(2)哪些变量之间存在依赖关系？哪些变量之间存在依赖关系？(3)(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？不是函数关系？思考交流(1)常量有圆柱底面面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面的弓形面积等。（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上的弓形面积、油的体积和油面宽度
10、之间都存在依赖关系。（3）储油量是油体积的函数，油体积是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数。2.2.请列举一些与公路交通有关的函数关系请列举一些与公路交通有关的函数关系. .3.3.请思考在其他情境下存在的函数关系请思考在其他情境下存在的函数关系, ,例如：邮例如：邮局局, ,机场等机场等. .例例1 1 口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染为了研有很多益处，但其残留物也会带来污染为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过试验，测定
11、了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷试验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：项目12345678温度15 25 30 35 37 40 45 50黏附力2.03.13.33.64.64.02.51.4次序次序0()C()N问题问题：（：（1 1）请根据上述数据，绘制出口香糖）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力黏附力F F随温度随温度t t变化的图像；变化的图像；（2 2）根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结）根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？论呢？（3 3）如果口香糖不小心粘在衣
12、服上，用什么办法清理最干净）如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最干净？探究：在图像上描出题中表格中数据对应的点，之后用直线将两相邻点连结得到近似图像，然后根据图像合理推出结论（1）口香糖黏附力F随温度变化的图像如图所示：示：O O10102.02.01.01.0t t（ ）50504040303020200C3.03.04.04.05.05.0F(N)F(N)（2）实验结论：（a）随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；（b）当温度在 时，口香糖的黏附力最大037 C(3)将衣服在冰箱中冷冻，然后取出用东西刮一下就干净了例例2 2 向高为向高为H H的水瓶中注水，注满为止，的水瓶中
13、注水，注满为止，如果注水量如果注水量V V与水深与水深h h的函数关系的图像如的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是下图所示，那么水瓶的形状是 （ ）hVH00HhVOhH V 0HhV1 12 23 34 41 1B B2 2D D3 3A A4 4C C1 1、某电器商店以、某电器商店以20002000元一台的价格进了一批电视机，元一台的价格进了一批电视机，然后以然后以21002100元的价格售出，随着售出台数的变化，商元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出 的台数的台数间存在函数关系吗？间存在函数关系吗？设售
14、出台数为x台，收入为y元，则y=(2100-2000)x收入和台数间存在函数关系2 2、坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎、坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？样的依赖关系？对于任一时间，电梯都有唯一高度.它们之间存在函数关系练习3 3、在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量浓度与所加、在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关系，指出自变量和因变量系，指出自变量和因变量. .存在函数关系，其中蔗糖质量是自变量，糖水质量浓度是因变量；也可以糖水质量深度是自变量，蔗糖的质量是因变
15、量4 4、日期与星期之间存在怎样的依赖关系？这种依赖关、日期与星期之间存在怎样的依赖关系？这种依赖关系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量系是函数关系吗？如果是，指出自变量和因变量. .每一个日期都有一个星期几和它对应，所以它们存在函数关系；日期是自变量，星期是因变量星期可否作星期可否作为自变量？为自变量？星期不能作自变量，对于每一个星期，有很多个日期，不具有单值性5 5、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系，其中哪、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系：些是函数关系：（1 1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的关系关
16、系（2 2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；时间的关系；（3 3）某水文观测点记录的水位与时间的关系；）某水文观测点记录的水位与时间的关系；（4 4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系. .练习6 6、在物理化学等学科中找出有函数关系的变、在物理化学等学科中找出有函数关系的变量的例子量的例子, ,并指出其中的自变量和因变量并指出其中的自变量和因变量. .7 7、请找出至少、请找出至少3 3个生活中存在的函数关系的个生活中存在的函数关系的实例实例, ,并与同伴交流并与同伴交流. . 练习1.1.充分感受现实世界中大量存在着的变量与变量之充分感受现实世界中大量存在着的变量与变量之间的依赖关系间的依赖关系. .2.2.函数是一类特殊的依赖关系函数是一类特殊的依赖关系, ,它同样普遍存在着它同样普遍存在着. .3.3.变量之间的关系有确定性的关系和非确定性的关变量之间的关系有确定性的关系和非确定性的关系，函数是确定性的关系。系，函数是确定性的关系。对自己的评估,只有内心能作出准确的回答。