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1、.第二章 轨迹与方程2.1平面曲线的方程1.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半，求此动点的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点在轨迹上的充要条件是。设的坐标有 化简得 故此动点的轨迹方程为 此轨迹为椭圆 2.有一长度为0）的线段，它的两端点分别在轴正半轴与轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。，为两端点，为此线段的中点。 解：如图所示 设.则.在中有 .把点的坐标代入此式得: .此线段中点的轨迹为. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为,并取两定点的连线为轴, 两定点所连线段的中垂线为轴.现有:.设在中 . 在中. 由两式得:. 4.设是
2、等轴双曲线上任意三点,求证的重心必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为 ,.重心 5.任何一圆交等轴双曲线于四点,及.那么一定有. 证明:设圆的方程.圆与等轴双曲线交点,则代入得整理得: 可知是它的四个根,则有韦达定理. 8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.; ; .解:令,代入方程得参数方程为.令代入方程得当时,当时,故参数方程为.2.2 曲面的方程1、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之
3、比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则亦即经同解变形得：上式即为所要求的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，则亦即两边平方且整理后，得： （1）从而（1）为即：由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的坐标系，设动点，所求的轨迹为，则类似于
4、（2），上式经同解变形为：其中 （*）（*）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。设动点，所求的轨迹为，则将上述方程经同解化简为： （*）（*）即为所要求的轨迹方程。3. 求下列各球面的方程：（1）中心，半径为；（2）中心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是（4）通过原点与解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：（2）由已知，球面半径所以类似上题，得球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 （1）解（1）有所求的球面方程为2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程1、
5、画出下列方程所表示的曲面的图形。（1） 解：各题的图形如下：（1）2.4 空间曲线的方程1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满足从而：（）当时，公共点的轨迹为： 及 即为两条平行轴的直线；（）当时，公共点的轨迹为： 即为轴；（）当时，公共点的轨迹为： 即过且平行于轴的直线；（）当或时，两图形无公共点。2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）曲面与面的交线为：此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。同理可求出曲面与面及面的交线分别为：， 它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在轴上，
6、且处在面上的椭圆；（2）由面与面，面，面的交线分别为：,亦即：,即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。（3）曲面与面，面，面的交线分别为：,亦即,即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在轴上，且处在面上的双曲线。（4）曲面与面，面，面的交线分别为：,亦即,即为坐标原点，顶点在原点以轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，以轴为对称轴，且处在面上的抛物线。3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4）解：（1）从方程组分别消去变量，得：亦即： （） （） （）（）是原曲线对平面的射影柱面方程；（）是原曲线对平面的射影柱面方程；（）是原曲线对平面的射影柱面方程。（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线（）对平面的射影柱面方程；（）对平面的射影柱面方程；（）对平面的射影柱面方程。（3） 原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：（4） 原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：6. 求空间曲线的参数方程. 解: 令,代入方程得再将所得结果代入方程得 .从而知曲线的参数方程为