资源描述
.\
第一章 矢量与坐标
1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1）单位球面； （2）单位圆
A F
B E
C
（3）直线； （4）相距为2的两点
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
在矢量、、 、、、
O
、、、、 、
和中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的矢量对是： 图1-1
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC, 则在DBAC中， KLAC. 与方向相同；在DDAC中，NMAC. 与方向相同，从而KL＝NM且与方向相同，所以＝.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
图1—3
(1) 、; (2) 、; (3) 、;
(4) 、; (5) 、.
[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[解]：（1）所在的直线垂直时有；
（2）同向时有
（3）且反向时有
（4）反向时有
（5）同向，且时有
1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题．
⑴ 化简．
⑵ 已知，，求，和．
⑶ 从矢量方程组，解出矢量，．
解 ⑴
⑵ ，
，
．
2 已知四边形中，，，对角线、的中点分别为、，求．
解 ．
3 设，，，证明：、、三点共线．
证明 ∵
∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线．
4 在四边形中，，，，证明为梯形．
证明∵
∴∥，∴为梯形．
6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形.
[证明]：
从而三中线矢量构成一个三角形。
7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
+=++.
[证明]
=
由上题结论知：
8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
+++＝4.
图1-5
[证明]：因为＝(+), ＝(+),
所以 2＝(+++)
所以
+++＝4.
9 在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明．
证明 ．
10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
证明 已知梯形，两腰中点分别为、，连接、．
，
，∴ ，即
，故平行且等于．
11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点
图1-4
但
由于∥∥而不平行于，
，
从而OA=OC，OB=OD。
12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:
++…+＝.
[证明]：因为
＋＝l,
＋＝l,
……
+＝l,
＋＝l,
所以 2(++…+)
＝l(++…+),
所以 (l－2)(++…+)＝.
显然 l≠2, 即 l－2≠0.
所以 ++…+＝.
13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：
证明：
即
1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
1．在平行四边形ABCD中，
（1）设对角线求
解：．设边BC和CD的（2）中点M和N，且求。
解：
2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个
面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。
证明：，
，
图1-7
3. 设一直线上三点A, B, P满足＝l(l－1),O是空间任意一点，求证：
＝
[证明]：如图1-7，因为
＝－,
＝－,
所以 －＝l (－),
(1+l)＝+l,
从而 ＝.
4. 在中,设.
(1) 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;
（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合
解：（1），
，同理
（2）因为 ＝,
且 与方向相同，
所以 ＝.
由上题结论有
＝＝.
5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量
的分解式。
解：是的重心。连接并延长与BC交于P
同理 C O
（1） G P
（2） A B
（3） （图1）
由（1）（2）（3）得
即
6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于
BM于CN交于，取空间任一点O，则 A
A
同理 N M
B L C
三点重合 O
三角形三中线共点 （图2）
（第3页）
7．已知矢量不共线，问与是否线性相关？
证明：设存在不全为0的，使得
即
故由已知不共线得与假设矛盾， 故不存在不全为0的，使得成立。所以线性无关。
8. 证明三个矢量＝－+3+2, ＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
[证明]：由于矢量, , 不共面，即它们线性无关.
考虑表达式 l+m+v＝，即
l (－+3+2)+m (4－6+2)+v (－3+12＋11)＝,
或 (－l+4m－3v) +(3l－6m＋12v) +(2l+2m＋11v) ＝.
由于, , 线性无关，故有
解得 l＝－10，m＝－1，v＝2.
由于 l＝－100，所以能用,线性表示
＝－＋.
9．证明三个矢量共面。
证明：
三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。
－＝l(－),
所以 ＝l,
从而 //.
故 A，B，C三点共线.
1.5 标架与坐标
3. 在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于
(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.
[解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，
M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)，
M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)，
M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)，
M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)，
M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c).
类似考虑P (2,－3，－1)即可.
8. 已知矢量, , 的分量如下：
(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；
(2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.
[解]:(1) 因为 ＝0,所以 , , 三矢量共面,
又因为, 的对应坐标成比例，即//，但，
故不能将表成, 的线性组合.
(2) 因为 ＝0,所以 , , 三矢量共面.
又因为 , 的对应坐标不成比例，即，
故可以将表成, 的线性组合.
设 ＝l+m, 亦即{0, 5, 6}＝l{1, 2, 3}+m{2, －1, 0}
从而
解得 l＝2，m＝－1,
所以 ＝2－.
7．已知A,B,C三点坐标如下：
（1）在标架下，
（2）在标架下，
判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式.
解：（1）因为
所以 共线
（2）
设，但不存在
所以不共线.
得 所以 .
9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.
答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).
在AiGi上取一点Pi，使＝3, 从而＝，
设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
G1,
G2,
G3,
G4,
所以
P1(,,)
P1(,,).
同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.
1.6 矢量在轴上的射影
1．已知矢量与单位矢量的夹角为，且，求射影矢量与射影，又如果，求射影矢量与射影.
[解] 射影=
射影矢量=
射影=
射影矢量=
2试证明：射影l(ll+…+ln)＝l1射影l+射影l
+…+ln射影l.
[证明]：用数学归纳法来证.
当n＝2时，有
射影l(l1l2)＝射影l()+射影l()＝l1射影l+l2射影l.
假设当n＝k时等式成立，即有
射影l()＝l1射影l+…+lk射影l.
欲证当n＝k+1时亦然. 事实上
射影l()
＝射影l[()+]
＝射影l()+射影l()
＝l1射影l+…+lk射影l+lk+1射影l
故等式对自然数n成立.
1.7 两矢量的数性积
1．证明：
（1） 矢量垂直于矢量 ；
（2）在平面上如 果，且＝ (i=1,2)，则有＝.
证明：（1） ∵ =
∴矢量垂直于矢量
（2） 因为 ,所以，对该平面上任意矢量＝l＋m,
(－)＝(－)(l＋m)
＝l(－)+m(－)
＝l(－)+m(－)＝0,
故 (－)^.
由的任意性知 －＝.
从而 ＝.
2．已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算：
[解]：
计算下列各题 （1）已知等边△的边长为且求 ； 已知两两垂直且 求的长和它与的夹角 已知与垂直，求的夹角 已知 问系数取何值时与垂直？ 解∵∴ ∵且 设 ∴ 设与的夹角分别为 ∴ ∴，， ，即 ，即
得： 得：
∴ ∴ ∴ ∴ 页后
图1-11
4. 用矢量法证明以下各题：
(1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA;
(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
证明：（1）如图1-21，△ABC中，设＝,＝,＝，
且||＝a，||＝b,||＝c. 则＝－,
2＝(－)2＝2+2－2＝2+2－2||||cosA.
图1-12
此即 a2＝b2+c2－2bccosA.
(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P,
D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设＝, ＝, ＝, 则＝－, ＝－, ＝－, ＝(+),
＝(＋).
因为 ^, ^,
所以 (+)(－)＝(2－2)＝0,
(+)(－)＝(2－2)＝0,
从而有 2＝2＝2, 即 ||2＝||2＝||2,
所以 (＋)(－)＝(2－2)＝0,
所以 ^, 且 ||＝||＝||.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
已知平行四边形以﹛1，2，-1﹜，﹛1，-2，1﹜为两边 求它的边长和内角 求它的两对角线的长和夹角 解： ∴或 ，. ∴ 已知△的三顶点 试求：△ 三边长 △三内角 三中线长 角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量 解： ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴=﹛﹜ ∴，， 设它的单位矢量为﹛﹜，且 ∴﹛﹜=﹛﹜
1.8 两矢量的失性
1.已知,试求: 解: ∴4. 原式= . 原式==9
2. 证明：
（1）()2≤22，并说明在什么情形下等号成立.
（2） 如果++＝，那么＝＝，并说明它的几何意义.
如果,.那么与共线. 如果 那么, 共面. 证明: （1） ()2＝||2＝||2||2sin2(,)
≤||2||2＝22.
要使等号成立, 必须sin2(,)＝1, 从而sin(,)＝1,
故(,)＝，即当^时，等号成立.
（2）由++＝, 有 (++)＝＝, 但 ＝，
于是 +＝,
所以 ＝.
同理 由 (++)＝, 有 ＝,
从而 ＝＝.
其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
∵()()=
== ∴与共线. =0 ∴0 ∴共面
3. 如果非零矢量(i＝1,2,3)满足，＝，＝，那么,,是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.
[证明]：由矢性积的定义易知,,彼此垂直，且构成右手系.
下证它们均为单位矢量.
因为 ＝，＝,
所以 ||＝||||, ||＝||||,
图1-13
所以 ||＝||2||.
由于 ||0，从而 ||2＝1，||＝1.
同理可证 ||＝1，||＝1.
从而,,都是单位矢量.
4.已知: ,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量: 为单位矢量 ,其中. 解: 设.∵=0 ∴=0 =1 由,,得: 设.∵ ∴=10 由,, 得: .
5. 在直角坐标系内已知三点,试求: 三角形的面积 三角形的三条高的长. 解: , , =, . . , , . ∴, , . 6.已知: , 试求: 以为边的平行四边形的面积. 这平行四边形的两条高的长. 解: ∵ ∴∴ ∴ .
7. 用矢量方法证明：
（1）三角形的正弦定理
＝＝.
（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：
D2＝p(p－a)(p－b)(p－c).
式中p＝(a+b+c)是三角形的半周长，D为三角形的面积.
[证明]： (1) 如图1-13，在△ABC中，设＝，＝，＝，
且||＝a，||＝b, ||＝c, 则 ++＝,
从而有 ＝＝,
所以 ||＝||＝||,
bcsinA＝casinB＝absinC,
于是 ＝＝.
(2) 同上题图，△ABC的面积为
D＝||,
所以 D2＝()2.
因为 ()2+()2＝22,
所以 D2＝[22－()2].
由于 ++＝,
从而 +＝－，(＋)2＝2,
所以 ＝(2－2－2)＝(c2－a2－b2),
故有 D2＝[a2b2－(c2－a2－b2)2]
＝[2ab－(c2－a2－b2)][2ab+(c2－a2－b2)]
＝[(a+b)2－c2][2－(a－b)2]
＝(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)
＝2p(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).
所以 D2=p(p-a)(p-b)(p-c),
或 D=.
1.9 三矢量的混合积
1. 设, , 为三个非零矢量，证明
(3) (, , +l+m) =(, , );
(4 ) (＋, ＋, ＋) =2(, , ).
[证明]：(1)左端=()(+l+m)
=()+()(l)+()(m)
=()+l()+m()
=()+l()+m()
=()=右端.
(2) 左端=[(+)(+)](+)
=[++](+)
=()+()+()+()+()+()
=()+()=2()=右端.
2． 设径矢, , , 证明 ＝()＋()＋()
垂直于ABC平面.
[证明]:由于 =[]
=
=,
所以 .
同理可证 .
所以 ^平面ABC.
3．=++,++, =++,
试证明 ()=(,,).
[证明]： =()+()+()
()=()
=c3()+a3()+b3()
=()
=(,,).
4.已知直角坐标系内矢量的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. , , . , , . 解: 共面 ∵= ∴向量共面 不共面 ∵= ∴向量不共面 以其为邻边作成的平行六面体体积
5. 已知直角坐标系内四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点所引出的高的长.
⑴;
⑵.
解: ⑴共面.
⑵
又,
顶点所引出的四面体高为.
1.10 三矢量的双重矢性积
1. 在直角坐标系内,已知求和.
解 =-=
=
=-=
2. 证明 对于任意矢量下式成立:
证 左式=
3. 证明 =
证 =
4. 证明 =
证 =[]
=.
=
5. 证明 共面的充要条件是,,共面.
证 ,,共面的
.
.
=0
共面.
6. 对于任意矢量,证明
证
=
=
=
展开阅读全文
相关搜索