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1、多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系5.4反常积分反常积分( )baf x dx，,a b前面讨论的定积分前面讨论的定积分 f x且在定积分存在的条件下被积函数且在定积分存在的条件下被积函数在在上是有界的上是有界的. ,a b其积分区间其积分区间为为有限区间，有限区间，可是在很多实际问题中会遇到积分区间为无穷区间可是在很多实际问题中会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间上是无界的定积分或者被积函数在积分区间上是无界的定积分, 的积分为的积分为反常积分或广义积分反常积分或广义积分.我们称这样我们称这样本节我们将通过常义积分对这两种情形的反常积分本节我们将通过
2、常义积分对这两种情形的反常积分进行讨论进行讨论 af x dx， lim.baabf x dxf x dx,a在无穷区间在无穷区间上的上的反常积分，反常积分，即即 f x,a定义定义1 设函数设函数在区间在区间上连续，上连续，取取ba， limbabf x dx如果极限如果极限存在，存在， f x则称此极限为函数则称此极限为函数记作记作一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分 af x dx af x dx这时也称反常积分这时也称反常积分如果上述极限不存在，如果上述极限不存在，发散发散收敛收敛 则称反常积分则称反常积分 ,b limbaaf x dxab，（） f x,b bf x dx， l
3、imbbaaf x dxf x dx类似地，类似地，在区间在区间上连续，如果上连续，如果则称此极限为函数则称此极限为函数在无穷区间在无穷区间记作记作即即 f x设函数设函数极限极限存在，存在，上的上的反常积分，反常积分， bf x dx bf x dx这时也称反常积分这时也称反常积分如果上述极限不存在，如果上述极限不存在，发散发散 收敛收敛则称反常积分则称反常积分 a， -af x dx af x dx ， f x设函数设函数在区间在区间上连续，上连续，如果反常积分如果反常积分和和则称上述则称上述的反常积分，的反常积分，即即都收敛，都收敛，两个反常积分的和为函数两个反常积分的和为函数 f x
4、dx，记作记作 f x dx =af x dx af x dx limabbf x dx lim.cacf x dx f x dx有一个反常积分发散，有一个反常积分发散，发散发散 f x dx这时也称反常积分这时也称反常积分收敛收敛 上式右端只要上式右端只要则称反常积分则称反常积分( )f x ，在无穷区间在无穷区间上上 af x dx limbabf x dx limbabF x limbF bF a limxF xF a F x f x如果如果是是的原函数，的原函数，无穷限反常积分的计算无穷限反常积分的计算则则可采用如下简记形式可采用如下简记形式 af x dx aF x limxF xF
5、 a bf x dx bF x F b lim.xF x f x dx F x limlimxxF xF x类似可记类似可记 注注: 式子式子不一定成立不一定成立. 下例可说明下例可说明211dxx arctan xxx lim arctanxx lim arctan22 211dxx例例1 计算反常积分计算反常积分解解尽管这样做，结果是对的，但其方法是错误的尽管这样做，结果是对的，但其方法是错误的. 原因是原因是该解题过程没有按照广义积分的定义中所规定的方法做该解题过程没有按照广义积分的定义中所规定的方法做. 正确做法是正确做法是: 先用某有限数一般取先用某有限数一般取0把积分拆成两部把积分
6、拆成两部分，然后再讨论各部分的敛散性，如果它们均收敛，广义分，然后再讨论各部分的敛散性，如果它们均收敛，广义积分积分211dxx才收敛才收敛.211dxx例例1 计算反常积分计算反常积分2-1dxx021dxx201dxx，021dxx02lim1aadxx0lim arctanaaxlim arctanaa 2 2 201dxx20lim1bbdxx0lim arctanbbxlim arctanbb2 21dxx22 ，而而所以所以这样做虽然麻烦一些，但能够保证结果的正确性这样做虽然麻烦一些，但能够保证结果的正确性. 否则，按照上述错误做法，有时可能做不出来或者做错否则，按照上述错误做法，
7、有时可能做不出来或者做错.即所给积分收敛即所给积分收敛.正确解法：正确解法：2-1xdxx2112xln2112xxlimln2112xxlimln ?2-1xdxx.例例2计算积分计算积分解法一：解法一： xx ，不论不论还是还是那么这里的无穷大减无穷大是什么那么这里的无穷大减无穷大是什么? 2112lnx都趋于正无穷都趋于正无穷. 判断不了判断不了!为心的对称区间的特性，得为心的对称区间的特性，得解法解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点21xdxx21AAAxdxxlim0A lim0 ，因此积分收敛因此积分收敛.我们说，上述两种方法都是
8、错误的我们说，上述两种方法都是错误的.2-1xdxx.例例2计算积分计算积分2-1xdxx02-1xdxx201xdxx021xdxx021aaxdxxlim02112aaxlimln2112aalimln ，201xdxx .例例2正确做法是正确做法是:而而第一部分已经发散，故无必要再计算第二部分第一部分已经发散，故无必要再计算第二部分故该积分发散故该积分发散同样有同样有例例3 讨论反常积分讨论反常积分10padx ax的敛散性的敛散性 1p1padxx1adxxxa ln .解解 当当时，时，1p1padxx111paxp ；当当时，时， 1p1padxx111paxp11pap.当当时，
9、时，1p11pap；1p因此，当因此，当此反常积分收敛，值为此反常积分收敛，值为当当此反常积分发散此反常积分发散时，时，时，时，二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分对于被积函数为无界的情形，与无穷限的反常积分对于被积函数为无界的情形，与无穷限的反常积分相类似，也用极限的方法定义相类似，也用极限的方法定义baf x dx( )，而在而在lim( )bttaf x dx如果极限如果极限仍然记作仍然记作定义定义2 ( )f x,a b设函数设函数在区间在区间上连续，上连续，点点a的右邻域内无界的右邻域内无界 ta ，取取存在，存在，( )f x,a b则称此极限为函数则称此极限为函数在在上的
10、上的反常积分，反常积分，即即( )lim( ).bbattaf x dxf x dx( )baf x dx( )baf x dx这时也称反常积分这时也称反常积分不存在，就称反常积分不存在，就称反常积分发散发散收敛收敛如果上述极限如果上述极限baf x dx( )，btaatbf x dxf x dx( )lim( ).( )baf x dx( )baf x dx类似地，类似地，的左邻域内无界的左邻域内无界 ( )f x则称此极限为函数则称此极限为函数仍然仍然即即这时也称反常积分这时也称反常积分如果上述极限不存在，如果上述极限不存在，发散发散而在点而在点btb ，取取lim( )tatbf x
11、dx如果极限如果极限存在，存在，,a b在在上的反常积分，上的反常积分，记作记作收敛收敛 就称反常积分就称反常积分( )f xa b , )在区间在区间上连续，上连续，设函数设函数c acb()( )caf x dx( )bcf x dxbaf x dx( )baccf x dxf x dx( )( )( )caf x dx( )bcf x dx( )baf x dx( )f x设函数设函数,a b在区间在区间上除点上除点如果两个反常积分如果两个反常积分与与则定义则定义如果两个反常积分如果两个反常积分与与则称反常积分则称反常积分发散发散外连续，外连续，而在点而在点c的任意邻域内无界的任意邻域内
12、无界 都都收敛收敛，有一个有一个发散发散, 如果函数如果函数 f(x) 在点在点a的任一邻域内都无界，那么点的任一邻域内都无界，那么点 a通常称为函数通常称为函数 f(x) 的的瑕点瑕点故无界函数的反常积分又称故无界函数的反常积分又称为为瑕积分瑕积分.无界函数反常积分的计算无界函数反常积分的计算baf x dx( )bttaf x dxlim( )bttaF x lim( )taF bF t( )lim( )xaF bF x( )lim( )baf x dx( )baF x( )xaF bF x( )lim( )baf x dx( )baF x( )xbF xF alim( )( )baf x
13、 dx( )=caf x dx ( )bcf x dx( )xcF xF alim( )( )xcF bF xlim( )( )则有则有简记形式简记形式当当b为瑕点时，为瑕点时，c acb()当当为瑕点时，为瑕点时，( )F x( )f x如果如果为为的原函数，的原函数， 当当a为瑕点时为瑕点时,有有1x1201xdxx1201x 211xxlim11 .1201xdxx；例例4 计算反常积分计算反常积分这是无界函数的反常积分，这是无界函数的反常积分，是被积函数的瑕点是被积函数的瑕点解解 201xx lim.0211dxx011x 011xxlim 0211dxx1211dxx1211dxx例
14、例5 讨论反常积分讨论反常积分的收敛性的收敛性 且且由于由于 反常积分反常积分所以反常积分所以反常积分发散发散解解 21x11 ,在区间在区间函数函数0 x上除上除外连续，外连续，发散，发散，bqadxxabadxxabaxaln bqadxxa111bqaxaq bqadxxa111bqaxaq111qbaq1q111qbaq;解解 1q当当时，时，1q当当时，时，因此，因此，其值为其值为此反常积分发散此反常积分发散bqadxxa例例6 讨论反常积分讨论反常积分的敛散性的敛散性 1q时，时，当当当当时，时，此反常积分收敛，此反常积分收敛，1q当当时，时，1112-1112 |.dxxx问题讨论问题讨论1. 反常积分的几何意义是什么？反常积分的几何意义是什么？2. 两类反常积分能否相互转换？两类反常积分能否相互转换？3. 以下的计算是否正确？为什么？以下的计算是否正确？为什么？ 本节给出了反常积分的定义及简单的计算方法本节给出了反常积分的定义及简单的计算方法反常积分可看作变限定积分的极限，其性质和计算反常积分可看作变限定积分的极限，其性质和计算方法与定积分有相似之处方法与定积分有相似之处. 反常积分的进一步讨论需反常积分的进一步讨论需要涉及较多的知识与技巧要涉及较多的知识与技巧