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1、1.3.1 函数的单调性与导数1.3 导数在研究函数中的应用oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（在（ ，0）和）和（0, ）上分别）上分别是减函数。是减函数。但在定义域上不是但在定义域上不是减函数。减函数。在（在（ ，1）上是减函数，在上是减函数，在（1, ）上是）上是增函数。增函数。在在( ,)上是增函数上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x
2、1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上有单调性。上有单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )复习与引入复习与引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3
3、)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)0f (x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间在某个区间 内，如果内，如果)
4、( xfy 0)( xf，那么，那么0)( xf()ab，函数函数 在这个区间内单调递增；如果在这个区间内单调递增；如果，那么函数，那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递减。单调递减。)( xfy 例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 可知可知 在此区在此区间内单调递减间内单调递减;, 0)( xf)(xf 当当 x = 4 ,
5、或或 x = 1时时, . 0)( xf 综上综上, 函数函数 图象图象的大致形状如右图所示的大致形状如右图所示.)(xfxyO14临界点临界点例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因为因为 , 所以所以3( )3f xxx. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf3)(3Rx(2) 因为因为 , 所以所以2( )23f xxx).1(222
6、)(xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递增单调递增;0)( xf1x32)(2xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf1x32)(2xxxf例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因为因为 , 所以所以( )sin,(0, )f xxx x. 01cos)(xxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxfsin)(), 0(x(4) 因
7、为因为 , 所以所以32( )23241f xxxx 当当 , 即即 时时, 函函数数 单调递增单调递增;0)( xf21712171xx或)(xf 当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf 例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相即单位时间内注入水的体积相同同) )注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容请分别找出与各容器对应的水的高度器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C
8、)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平平缓缓”. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a( )yf xyxo
9、ba利用导数讨论函数单调的步骤利用导数讨论函数单调的步骤: :(2)(2)求导数求导数).(xf (3)(3)解不等式组解不等式组 得得f(xf(x) )的单调递增区间的单调递增区间; ; 解不等式组解不等式组 得得f(xf(x) )的单调递减区间的单调递减区间. .f f( (x x) ) 0 0 x xD D=()yfx(1)(1)求求 的定义域的定义域D D说明说明: :函数的单调区间必定是它的定义域函数的单调区间必定是它的定义域的子区间的子区间, ,故求函数的单调区间一定首先故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域要确定函数的定义域, ,在求出使导数的值在求出使导数的值为正或负的为
10、正或负的x x的范围时的范围时, ,要与定义域求两者要与定义域求两者的交集的交集. .练习练习1.判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:;)( )2( ; 42)( ) 1 (2xexfxxxfx.)( )4( ;3)( )3(233xxxxfxxxf练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状)( xfy )( xf 练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.)0()(2acbxaxxf解解: 2( )(0)f xaxbxc a( )2.fxaxb0 ) 1 (a 由由 ,
11、得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab练习练习4.求证求证: 函数函数 在在 内是减函数内是减函数.762)(23xxxf解解: 32( )267f xxx2( )612 .fxxx)2 , 0( 由由 , 解得解得 , 所以函数所以函数 的递减区间是的递减区间是 , 即函数即函数 在在 内是减内是减函数
12、函数.0)( xf20 x)(xf)2 , 0()2 , 0()(xf例例4.设函数设函数 ,其中其中a0,求求a的的取值范围取值范围,使使f(x)在区间在区间0,+ )是单调函数是单调函数.2( )1f xxax 2( )1xf xax20,),0,1)1xxx 解解:故当故当a1时时,f (x)0恒成立恒成立,f(x)在在0,+)上递减上递减.又当又当0a0 B.-1a1 D.0a133(,)33Aa()0只是函只是函数数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不函数的充分不必要条件必要条件.( )fx6.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用导数的符号来判断函数的单调区间
13、,是导是导数几何数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想它充分体现了数形结合的思想.5.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当函则当函数数f(x) 时在闭区间时在闭区间a,b上连续上连续,那么单调区间可那么单调区间可以扩大到闭区间以扩大到闭区间a,b上上.4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据首先要根据题意构造函数题意构造函数,再判断所设函数的单调性再判断所设函数的单调性,利用单利用单调性的定义调性的定义, 证明要证的不等式证明要证的不等式.当函数的单调当函数的单调区间与函数的定义域相同时区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的我们也可用求导的方法求函数的值域方法求函数的值域.作业作业:P31 A组 1 2 3