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1、高等数学教案 第四章 不定积分 第四章 不定积分教学目的：1、 理解原函数概念、不定积分的概念。2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。教学难点：1、 换元积分法；2、 分部积分法；3、 三角函数有理式的积分。4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)d
2、x, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 因为(sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x (1, +)时, 因为, 所以是的原函数. 提问: cos x和还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x I 都有F (x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 第二, f(x)的
3、任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 . 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即. 因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 . 因为是的原函数, 所以 . 例2.
4、求函数的不定积分. 解：当x0时, (ln x), (x0); 当x0时, ln(-x), (x0时, . 即 . 例9. . 即 . 例10. . 例11. . 含三角函数的积分: 例12. . 例13. . 例14. . 例15. . 例16. . 例17. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C . 例18. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C. 二、第二类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数
5、F(t), 则有换元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函数. 这是因为 . 例19. 求(a0). 解: 设x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是 . 因为, , 所以. 解: 设x=a sin t , , 那么 . 提示:, dx=acos tdt .提示: , . 例20. 求(a0). 解法一: 设x=a tan t, , 那么=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C, 其中C 1=C-ln a . 解法一
6、: 设x=a tan t, , 那么 =ln|sect+tant|+C , 其中C 1=C-ln a . 提示:=asect , dx=a sec 2t dt , 提示:, . 解法二: 设x=a sh t , 那么 ,其中C 1=C-ln a . 提示: =a ch t , dx =a ch t d t . 例23. 求(a0). 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么=a tan t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C , 其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 , 其中C 1=C
7、-2ln a . 综合起来有. 解: 当xa 时, 设x=a sec t (), 那么 ,其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 , 其中C 1=C-2ln a . 提示:=atant .提示:, . 综合起来有 . 补充公式: (16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23), (24). 4. 3 分部积分法 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv)=uv+uv, 移项得 uv=(uv)-uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 , 或,这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程:. 例1 =x sin x-c
8、os x+C . 例2 . 例3 =x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C. 例4 . 例5 . 例6 . 例7 求. 解 因为 , 所以 . 例8 求. 解 因为 , 所以 . 例9 求, 其中n为正整数. 解 ; 当n1时，用分部积分法, 有 ,即 ,于是 .以此作为递推公式, 并由即可得. 例10 求. 解 令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于 . . 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 , .哪些积分可以用分部积分法？, , ;, , ;, .,. 4. 4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数的形式: 有理函数
9、是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: ,其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, , an及b0, b1, b2, , bm都是实数, 并且a00, b00. 当n0)的积分1234567五、含有ax2+bx+c (a0)的积分六、含有 (a0)的积分123456789例3求. 解: 因为, 所以这是含有的积分, 这里. 在积分表中查得公式 . 于是 . 七、含有(a0)的积分123456789八、含有(a0)的积分123456789九、含有的积分十、含有或的积分十一、含有三角函数的积分123456789101112131414例2求. 解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式 . 这里a=5、b=-4, a 2b2, 于是 . 例4 求. 解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式 , . 这里n=4, 于是 . 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室