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1、攸县一中攸县一中 洪开科洪开科 aabb|cosbaba aabb ,a b 1异面直线异面直线a,b所成的角所成的角计算计算直线直线a,b的的方向方向向量向量 的的角角, 注意写为锐角注意写为锐角,即即cos=,| cos,|a b ula|sin|a uau ula ua与与2斜线斜线a与平面所成的角与平面所成的角计算平面法向量计算平面法向量 的的角角, 注意与其锐角互余注意与其锐角互余,即即sin=|cos,|a u cos|u vu v u v u v uv与与3二面角二面角计算两平面的法向量计算两平面的法向量的的 角角, 注意与其相等或互补注意与其相等或互补.理解符号的选择：理解符号
2、的选择：同锐同钝取正号，同锐同钝取正号，一锐一钝取负号一锐一钝取负号二面角的平面角二面角的平面角方向向量法：将方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如的夹角。如图设图设二面角二面角 -l-的的大小大小为为其中其中AB ，AB l，CD ，CD l.coscos,|AB CDAB CDAB CD DClBAF1D1C1B1A1BCA 例例1在在RtABC中，中，ACB=90，现将，现将ABC沿着沿着平面平面ABC的法向量平移到的法向量平移到A1B1C1的位置，已知的位置
3、，已知BC=CA=CC1，取，取A1B1， A1C1的中点的中点D1，F1，求，求AF1与与BD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值 xyz 解解：如图建立如图建立空间直角坐标系空间直角坐标系C-xyz设设BC=2，则，则(2,0,0)，F1 (1,0,2)，B(0, 2,0)，D1 (1,1,2) 11( 1,0,2),(1, 1,2)AFBD 111111cos,|AF BDAF BDAFBD 1 430.1056 所以所以AF1与与BD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值为为3010例例2在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=6，AD=8，AA1=6，M为为B1C1上的一点
4、，且上的一点，且B1M=2，点，点N在线段在线段A1D上，上，A1N=5，求，求AD与与平面平面ANM 所成角的余弦值所成角的余弦值 解解：如图建立如图建立空间直角坐标系空间直角坐标系A-xyz A1D=10， A1N=5， N是是A1D的中点的中点, N(0,4,3)NABCDD1A1B1C1Mxyz(0,4,3),(6,2,6)ANAM 又又设设平面平面ANM的法向量为的法向量为( , , )ux y z 4306260uANyzxyzuAM 则则(3,3, 4)u 设设y=3解得解得(0,8,0),AD 又又|243sin|34 834AD uADu 25 34cos1sin34为为所求
5、角的余弦值所求角的余弦值解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,(0,1, 2),(2, 1,0)SDCD 设设平面平面SCD的法向量为的法向量为63故故所所求求二二面面角角的的余余弦弦值值是是ABDCSxyz例例3在直角梯形在直角梯形ABCD中，中，ABC=90，若，若SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求，求面面SCD与与面面SBA所成二面所成二面角的余弦值角的余弦值 解解：如图建立如图建立空间直角坐标系空间直角坐标系A-xyz则则S(0,0,2)，C(-2,2,0)，D(0,1,0)( , , )ux y z 2020uSDyzxyuCD 则则(
6、1,2,1)u 设设x=1，解得，解得易知平面易知平面SBA的法向量为的法向量为(0,1,0)v 26cos,3| | |6 1u vu vu v 例如图例如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，侧棱为矩形，侧棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1，AD= ，在线段在线段BC上是否存在一上是否存在一点点E，使，使PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为45？若存在，确定点？若存在，确定点E的的位置；若不存在说明理由位置；若不存在说明理由. 3ABDCPExyz 解解：如图建立如图建立空间直角坐标系空间直角坐标系A-xyz设设BE=m，则，则P(0,0,1)，
7、E(m,1,0)，( 3,0,0)D( 3,0, 1),(,1, 1)PDPEm 设设平面平面PDE的法向量为的法向量为( , , )ux y z 300uPDxzmxyzuPE 则则(1, 3, 3)um 设设x=1，解得，解得(0,0,1),AP 又又PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为452|3sin45|4( 3)AP uAPum 32m 解解得得( (舍舍去去正正号号) ), ,32.E BE 故故存存在在所所求求点点 ， D 1 C 1 B 1 A 1 G E D C B F A1如图，长方体如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1=AB=2， AD=1，
8、点点E、F、G分别是分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线的中点，则异面直线A1E与与GF所成的角是所成的角是( ) A60 B45 C30 D90五、迁移练习五、迁移练习D3在三棱锥在三棱锥O-ABC中，三条棱中，三条棱OA、OB、OC两两互相两两互相垂直，且垂直，且OA=OB=OC,M是是AB的中点，则的中点，则OM与平面与平面ABC所成角的所成角的余弦值余弦值是是( )242ABC的顶点的顶点B在平面在平面内，内，A、C在在的同一侧，的同一侧，AB、BC与与所成的角分别是所成的角分别是30和和45, 若若AB=3, BC= , AC=5, 则则AC与与所成的角为所成的角为( ) A
9、60 B45 C30 D15CB4如果如果平面的一条斜线与它在这个平面平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别上的射影的方向向量分别是是 =(1,0,1)， =(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成那么这条斜线与平面所成的角的角是是 . 5已知已知两平面的法向量两平面的法向量分别分别 =(0,1,0), =(0,1,1)，则两平面所成的钝二面，则两平面所成的钝二面 角为角为 . .60135ab uv 6在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为为B1C1上的一点，且上的一点，且B1M=2，点，点N在线段在线段A1D上，上，A1D AN.(
10、1) 求证：求证：A1D A.(2)求求AD与平面与平面ANM 所成角的正弦值所成角的正弦值 解解：如图建立如图建立空间直角坐标系空间直角坐标系A-xyz A1(0,0,4),D(0,8,0)NABCDD1A1B1C1Mxyz1(0,8, 4),(5,2,4)A DAM又又 (0,8,0),AD 又又111|642 5cos,5|880AD A DAD A DADA D 10A D AM A1D A.(2) 由由(1)知知A1D A, 又又A1D AN. A1D 平面平面ANM.AD与平面与平面ANM 所成角是所成角是DAN.所以所以AD与平面与平面ANM 所成角的正弦值为所成角的正弦值为2 557如如图，已知：直角梯形图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz