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1、3.1.3概率的基本性质1了解事件间的包含关系和相等关系2理解互斥事件和对立事件的概念及关系(重点、易错易混点)3了解两个互斥事件的概率加法公式(难点)基础初探教材整理1事件的关系与运算阅读教材P119P120“探究”以上的部分，完成下列问题定义表示法图示事件的关系包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)事件互斥若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生若AB，则A与B互斥事件对立若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件若AB，且
2、ABU，则A与B对立事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有()AMNBMNCMNDMN【解析】事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反则当M发生时，事件N一定发生，则有MN.故选A.【答案】A教材整理2概率的性质阅读教材P120“探究”以下的部分，完成下列问题1概率的取值范围为0,12必然事件的概率为1，不可能事件的概率
3、为0.3概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)特例：若A与B为对立事件，则P(A)1P(B)，P(AB)1，P(AB)0.4概率的加法公式的含义(1)使用条件：A，B互斥(2)推广：若事件A1，A2，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)互斥事件一定对立()(2)对立事件一定互斥()(3)互斥事件不一定对立()(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率()(5)事件A与B互斥，则有P(A)1P(B
4、)()(6)若P(A)P(B)1，则事件A与事件B一定是对立事件()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)2P(A)0.1，P(B)0.2，则P(AB)等于()A0.3B0.2C0.1D不确定【解析】由于不能确定A与B互斥，则P(AB)的值不能确定【答案】D3一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为_【解析】中奖的概率为0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为10.350.65.【答案】0.65小组合作型互斥事件与对立事件的判定(1)抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立
5、事件为()A至多两件次品B至多一件次品C至多两件正品D至少两件正品(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是() A对立事件B不可能事件C互斥但不对立事件D以上答案都不对【精彩点拨】根据互斥事件及对立事件的定义判断【尝试解答】(1)“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”，故选B.(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件故选C.【答案】(1)B(2)C判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发
6、生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.再练一题1某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”【解】从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件(2)“至少1名男生”包括2
7、名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件事件的运算在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A出现1点，B出现3点或4点，C出现的点数是奇数，D出现的点数是偶数(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果【精彩点拨】解答时抓住运算定义【尝试解答】在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种
8、基本事件，记作Ai出现的点数为i(其中i1,2，6)则AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，也不对立；事件B与D不是对立事件，也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件(2)AB，ACA，AD.ABA1A3A4出现点数1或3或4，ACC出现点数1或3或5，ADA1A2A4A6出现点数1或2或4或6BCA3出现点数3，BDA4出现点数4BCA1A3A4A5出现点数1或3或4或5BDA2A3A4A6出现点数2或3或4或6CD，CDA1A2A3A4A5A6出现点数1,2,3
9、,4,5,6事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.再练一题2掷一枚骰子，下列事件：A出现奇数点，B出现偶数点，C点数小于3，D点数大于2，E点数是3的倍数求：(1)AB，BC；(2)AB，BC；(3)记是事件H的对立事件，求，C，C，.【解】(1)AB，BC出现2点(2)AB出现1,2,3,4,5或6点，BC出现1,2,4或6点(3)点数小于或等于2出现1或2点；CBC出现2点；CAC出现1,2,3
10、或5点；出现1,2,4或5点探究共研型互斥事件和对立事件的关系探究1在一次试验中，对立的两个事件会都不发生吗？【提示】在一次试验中，事件A和它的对立事件只能发生其中之一，并且必然发生其中之一，不可能两个都不发生探究2互斥事件和对立事件有何区别和联系？【提示】(1)对立事件一般是针对两个事件来说的，一般两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则这两个事件未必是对立事件(2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则A与B互斥，而且AB是必然事件某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在
11、一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率【精彩点拨】先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解【尝试解答】(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件“射中10环或7环”的事件为AB.故P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生
12、，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，所以P()0.210.230.250.280.97，从而P(E)1P()10.970.03.所以不够7环的概率是0.03.1对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)其使用的前提条件仍然是A1，A2，An彼此互斥故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥2“正难则反”
13、是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求再练一题3甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率【解】(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P1.(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A).法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)1.1如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么()AAB是必然事件B.是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥【解析】用
14、集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件【答案】B2从一批产品中取出三件产品，设A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品至少有一件是次品，则下列结论正确的是()AA与C互斥B任何两个均互斥CB与C互斥D任何两个均不互斥【解析】从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件D1没有次品，D21件次品，D32件次品，D43件次品，AD1，BD4，CD2D3D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥【答案】A3甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为() A60%B30%C10%D50%【解析】甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下
15、成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%40%50%.【答案】D4从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为_. 【解析】设A3人中至少有1名女生，B3人都为男生，则A，B为对立事件，所以P(B)1P(A).【答案】5盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”已知P(A)，P(B)，求“3个球中既有红球又有白球”的概率【解】记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球
16、，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)P(AB)P(A)P(B).学业分层测评(十七)概率的基本性质(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若A，B是互斥事件，则()AP(AB)1BP(AB)1CP(AB)1DP(AB)1【解析】A，B互斥，P(AB)P(A)P(B)1.(当A，B对立时，P(AB)1)【答案】D2对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一炮弹击中飞机，D至少有一炮弹击中飞机，下列关系不正确的是()AADBBDCACDDABBD【解析】“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至
17、少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，ABBD.【答案】D3从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()ABCD【解析】从19中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.【答案】C4某城市2016年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻
18、微污染该城市2016年空气质量达到良或优的概率为()A.B.C.D.【解析】所求概率为.故选A.【答案】A5对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图312为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35)上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()图312A0.09B0.20C0.25D0.45【解析】由题图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为10.30.250.45.【答案】D二、填空题6在掷骰子的游
19、戏中，向上的数字为5或6的概率为_【解析】记事件A为“向上的数字为5”，事件B为“向上的数字为6”，则A与B互斥所以P(AB)P(A)P(B)2.【答案】7一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_. 【解析】连续射击两次有以下四种情况：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，两次都中和两次都不中故“至少一次中靶”的互斥事件为“两次都不中靶”【答案】“两次都不中靶”8同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是_【解析】记既没有5点也没有6点的事件为A，则P(A)，5点或6点至少出现一个的事件为B.因为AB，AB为必然事件，所以A与B
20、是对立事件，则P(B)1P(A)1.故5点或6点至少出现一个的概率为.【答案】三、解答题9掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(AB)【解】记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(AB)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).能力提升1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个
21、红球【解析】A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意【答案】D2一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为_【解析】由题意知A
22、“摸出红球或白球”与B“摸出黑球”是对立事件，又P(A)0.58，P(B)1P(A)0.42，又C“摸出红球或黑球”与D“摸出白球”也是对立事件P(C)0.62，P(D)0.38.设事件E“摸出红球”，则P(E)1P(BD)1P(B)P(D)10.420.380.2.【答案】0.23袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【解】从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有：P(BC)P(B)P(C)；P(CD)P(C)P(D)；P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，解得P(B)，P(C)，P(D).所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，.版权所有：高考资源网()