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1、15.2二项式系数的性质及应用(ab)n的展开式的二次式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，其系数和为2n.问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n2,4,6时，中间一项最大，n3,5时中间两项最大二项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数C，C，C有如下性质：(1)CC；(2)CCC；(3)当r时，CC；当r时，CC；(
2、4)CCCC2n.1与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等2当n为偶数时，二项式系数中，以Cn最大；当n为奇数时，二项式系数中以Cn和Cn(两者相等)最大3二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等二项展开式中系数的和例1已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路点拨根据展开式的特点，对x合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解精解详析令x1，则a0a1a2a71令x1，则a0a1a2a737(1)令x0，则a01，a1a2a72.(2)()2，得a1a3a5a
3、71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)|a0|a1|a2|a7|a0a1a2a3a7372 187.一点通(1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)1设(2x1)6a6x6a5x5a1xa0，则|a0|a1|a2|a6|_.解析：Tr1C(2x)6r(1)r(1)r26rCx6r，ar(1)r26rC.|a0|a1|a2|a6|a0a1a2a3a4a5
4、a62(1)1636.答案：362二项式n的展开式中各项系数的和为_解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为n0.答案：03已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.(1)求a0a1a2a5；(2)求|a0|a1|a2|a5|；(3)求a1a3a5.解：(1)令x1，则a0a1a2a3a4a51.(2)令x1，则a0a1a2a3a4a5243.|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5，|a0|a1|a2|a3|a4|a5|243.(3)a1a2a3121.二项式系数的性质例2(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的
5、项和系数最大的项思路点拨求(abx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，An1，再设第r1项系数最大，由不等式组确定r的值精解详析T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有，解得5r6.r5或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.一点通(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系
6、数个数相同(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得4已知(ab)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n_.解析：(ab)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，二项展开式共有9项，即n19，n8.答案：85在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则展开式中常数项的值为_解析：令x1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n2n7
7、2，解得n3.所以二项展开式的通项Tr1C3rr3rCxr，显然当r1时，Tr1是常数项，值为3C9.答案：96在5的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项解：(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C5r(3x2)r3rCx，r，r4.即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x2)4405x.利用二项式定理解决整除问题例3求证：2n23n5n4(nN*)能被25整除思路点拨将2n23n5n446n5n4转化为25的倍数即可证明精解详析原式
8、46n5n44(51)n5n44(C5nC5n1C5n2C)5n44(C5nC5n1C52C51)4C5n44(C5nC5n1C52)20n45n44(C5nC5n1C52)25n.以上各项均为25的整数倍，故2n23n5n4能被25整除一点通利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数7求证：51511能被7整除证明：51511(492)511C4951C49502C49250C2511.易知除C
9、2511以外各项都能被7整除又2511(23)171(71)171C717C716C7C17(C716C715C)显然能被7整除，所以51511能被7整除8求证：对任何非负整数n,33n26n1可被676整除证明：当n0时，原式0，可被676整除当n1时，原式0，也可被676整除当n2时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC26n1C262C261)26n126nC26n1C262.每一项都含262这个因数，故可被262676整除综上所述，对一切非负整数n,33n26n1可被676整除1用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需
10、根据所求的展开式系数和特征来确定一般对字母赋的值为1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握2二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r1项的系数Tr1最大，则满足不等式，由不等式组解出r的值3余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余
11、数问题展开思路对应课时跟踪训练(九)一、填空题1已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_解析：由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8或n1(不合题意，舍去)，则8的展开式的通项为Tr1Cx8rr，令r14，得r3，则第四项为T4Cx537x5.答案：7x52若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_解析：令x1,2n64n6.由Tr1C36rx(1)rx(1)rC36rx3r，令3r0r3. 所以常数项为C332027540.答案：5403若n展开式中只有第6项的系数最大，则n_.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n10.答
12、案：104已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_.解析：(1x)102(1x)10其通项公式为：Tr1C210r(1)r(1x)r，a8是r8时，第9项的系数所以a8C22(1)8180.答案：1805若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，则a0a1a2(1)nan_.解析：由CC，得3n1n6(无整数解，舍去)或3n123(n6)，解得n4，问题即转化为求(3x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3x)4中令x1，即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案：256二、解答题6二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数
13、之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，得a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，此即为所有奇数项系数之和7求(1x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项解：(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大该项为T5C(x)470x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4C(x)356x3，T6C(x)556x5.8求证：32n28n9能被64整除证明：32n28n99n18n9(18)n18n9CC8C82C83C8nC8n18n91(n1)8C82C83C8n8n18n9C82C83C8n8n182(CC8C8n28n1)，又CC8C8n28n1是整数，32n28n9能被64整除