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1、15.1二项式定理问题1：我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式提示：(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(ab)4是如何展开的吗？提示：因(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)由多项式乘法法则知，从四个ab中选a或选b是任意的若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C种，式子为Ca3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C种，式子为Ca2b2.问题4：能用类比方法写出(ab)
2、n(nN*)的展开式吗？提示：能，(ab)nCanCan1bCbn.1二项式定理公式(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，它一共有n1项2二项展开式的通项Canrbr叫做二项展开式的第r1项(也称通项)，用Tr1表示，即Tr1Canrbr.3二项式系数C(r0,1,2，n)叫做第r1项的二项式系数1(ab)n中，nN*，a，b为任意实数2二项展开式中各项之间用“”连接3二项式系数依次为组合数C，C，C，C.4(ab)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列
3、，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.二项式的展开例1求下列各式的展开式：(1)(a2b)4；(2)5.思路点拨可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开精解详析(1)根据二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，得(a2b)4Ca4Ca32bCa2(2b)2Ca(2b)3C(2b)4a48a3b24a2b232ab316b4.(2)法一：5C(2x)5C(2x)4C(2x)32C(2x)23C(2x)4C532x5120x2.法二：5C(4x3)5C(4x3)4(3)C(4x3)(3)4C(3)5(1 024x153 840x125 760x94 320x61 6
4、20x3243)32x5120x2.一点通形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂含负号的二项展开式形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况1写出(12x)4的展开式解：(12x)4C14(2x)0C13(2x)1C12(2x)2C11(2x)3C10(2x)418x24x232x316x4.2求4的展开式解：法一：4C4C3C()22C3C4x22x.法二：44(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.求二项展开式的特定项例2已知二项式10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项思路点拨(1)直
5、接利用通项公式求解；(2)利用通项公式Tr1Canrbr，设第r1项为常数项，令x的指数等于0即可求出r.精解详析(1)10的展开式的第5项为T5C(x2)64C4 x124x10.(2)设第r1项为常数项，则Tr1C(x2)10rrCx20rr(r0,1,2，10)，令20r0，得r8，所以T9C8，即第9项为常数项，其值为.一点通(1)二项展开式的通项Tr1Canrbr表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定对于一个具体的二项式，通项Tr1依赖于r，公式中的二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n.(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有
6、某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等其通常解法就是根据通项公式确定Tr1中r的值或取值范围以满足题设的条件3(x2y)6 展开式中的第4项为_解析：由二项展开式的通项得，(x2y)6展开式中的第4项为Cx63(2y)3160x3y3.答案：160x3y34二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为_解析：二项展开式的通项是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令3n5r0，得n(r0,1,2，n)，故当r3时，n有最小值5.答案：55求8的展开式中的有理项解：8的展开式的通项为Tr1C()8rrrCx(r0,1,2
7、，8)，为使Tr1为有理项，r必须是4的倍数，所以r0,4,8，故共有3个有理项，分别是T10Cx4x4，T54Cxx，T98Cx2.二项式系数与项的系数例3已知二项式10.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数思路点拨利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数精解详析10的二项展开式的通项是Tr1C10rr(r0,1，10)(1)第4项的二项式系数为C120.(2)第4项的系数为C37377 760.一点通要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系
8、数均有关6(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数等于_解析：x2的系数是四个二项展开式中4个含x2的系数和，则有C(1)0C(1)1C(1)2C(1)3(CCCC)20.答案：207在二项式(1x2)20的展开式中，第4r项和第r2项的二项式系数相等，则r_.解析：第4r项与第r2项的二项式系数分别为C和C，由题设得CC.由组合数性质得4r1r1或4r120(r1)4r1r1没有整数解由4r120(r1)，得r4，所以r4.答案：48求(2x2)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数解：通项公式为Tr1C(2x2)9rr29rCx183r，故第3项的二项式
9、系数为C36，第4项的系数为 26C5 376.1求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：求第r项；求含xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误3二项式系数与项的系数的区别二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负对应课时跟踪训练(
10、八)一、填空题1(a2b)10展开式中第3项的二项式系数为_解析：第3项的二项式系数为C45.答案：452(四川高考改编)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为_解析：只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C15.答案：153二项式5的展开式中的常数项为_解析：Tr1C(1)rx155r，令155r0，r3.故展开式中的常数项为C(1)310.答案：104若(x1)nxnax3bx2nx1(nN*)，且ab31，那么n_.解析：aC，bC，又ab31，即3，解得n11.答案：115.9的展开式中有理项共有_项(用数作答)解析：由Tr1C(x2)9rrCx183r,
11、 依题意需使183r为整数，故183r0，r6，即r0,1,2,3,4,5,6共7项答案：7二、解答题6求7的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：T4C73(2y3)3Cx2(2)3y9280x2y9，第四项的二项式系数为C35，第四项的系数为280.7若6展开式的常数项为60，则常数a的值解：二项式6展开式的通项公式是Tr1Cx6rrx2rCx63rr.当r2时，Tr1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca60，解得a4.8已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数解：n展开式的通项公式为Tr1CnrrrCx.由题意知，C，C，C成等差数列，则CCC，即n29n80，解得n8或n1(舍去)Tr1rCx4r.令4r1，得r3.含x项的系数为3C7，二项式系数为C56.