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1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质1理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理(重点)2能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题(重点、难点)3理解“平行”与“垂直”之间的相互转化(易错点)基础初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材P70的内容，完成下列问题文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直()【解析】由线
2、面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A平行BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直D在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A
3、1B1C1D1，答案D正确小组合作型线面垂直性质定理的应用如图2331所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.图2331求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点【精彩点拨】(1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1平面A1DC.(2)可证ONAM，ONAB.【自主解答】(1)ADD1A1为正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1.CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.(2)连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC.ON綊DC綊AB，ONAM.又MNOA，四边形AMNO为平行四边形，O
4、NAM.ONAB，AMAB，M是AB的中点1直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们2当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化再练一题1如图2332，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.图2332【证明】因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.面面垂直性质定理的应用如图2333所示，P是四边形ABC
5、D所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.图2333(1)若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.【精彩点拨】(1)(2)要证ADPB，只需证AD平面PBG即可【自主解答】(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知DAB60，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如图，连接PG.PAD是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由(1)知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG.ADPB.1证明或判定线面
6、垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线再练一题2如图2334，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.图2334【证明】平面VAB底面ABCD，且BCAB.BC平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC.平面VBC平面VAC.探究共研型垂直关系的综合应用探究1如图2335，
7、A，B，C，D为空间四点在ABC中，AB2，ACBC，等边ADB以AB为轴转动当平面ADB平面ABC时，能否求CD的长度？图2335【提示】取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE，由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.探究2在上述问题中，当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论【提示】当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由探究1知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DE，C
8、E为相交直线，所以AB平面CDE，由CD 平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图2336，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；图2336(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA底面ABCD；(2)可证BEAD，从而得BE平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理【自主解答】(1)因为平面PAD底面ABCD，且PAAD，所以PA底面ABCD.
9、(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又ADPAA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.1证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质
10、定理2利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线再练一题3如图2337，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90.求证：平面PEF平面PBC. 图2337【证明】(1)E，F分别为AC，BC的中点，EFAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.(2)PAPC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEBC.又F为BC的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，
11、BC平面PEF.又BC平面PBC，平面PBC平面PEF.1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的【答案】D2已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作MEAB于E，则()AME平面ACBME平面ACCME平面ACD以上都有可能【解析】由于ME平面AB1，平面AB1平面ACAB，且平面
12、AB1平面AC，MEAB，则ME平面AC.【答案】A3如图2338，ADEF的边AF平面ABCD，且AF2，CD3，则CE_.图2338【解析】因为AF平面ABCD，所以ED平面ABCD，所以EDC为直角三角形，CE.【答案】4如图2339，空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，且ABAD，则AD与平面BCD所成的角是_. 图2339【解析】过A作AOBD于O点，平面ABD平面BCD，AO平面BCD，则ADO即为AD与平面BCD所成的角BAD90，ABAD.ADO45.【答案】455如图2340，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD.求证：AD平面PCD.图2340【证明】在矩形ABCD中，ADCD，因为平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，AD平面ABCD，所以AD平面PCD.版权所有：高考资源网()