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1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质【选题明细表】 知识点、方法题号线面垂直性质的理解3,4,10面面垂直性质的理解1,2线面垂直性质的应用4,6面面垂直性质的应用5,7,8,9,11,121.已知两个平面垂直,下列说法:一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是(C)(A)3(B)2(C)1(D)0解析:如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,对于AD1平面AA1D1D,BD平面ABCD,
2、AD1与BD是异面直线,成角60,错误;正确.对于,AD1平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,错误.故选C.2.(2018陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC是(A)(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AHBD于点H,由平面ABD平面BCD,得AH平面BCD,则AHBC.又DA平面ABC,所以BCAD,所以BC平面ABD,所以BCAB,即ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面,之间满足:l=,l,m和m,
3、那么(A)(A)且lm (B)且m(C)m且lm (D)且解析:由m,m得,由l=,得l,所以ml.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是(D)(A)若,垂直于同一平面,则与平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线,即,可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若,不平行,则,相交,设=l,在内存在直线a,使al,则a,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与
4、n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知mn,故D正确.5.(2018沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,ABBD.沿BD将ABD折起,使平面ABD平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:因为平面ABD平面BCD,又ABBD,所以AB平面BCD,AB平面ABC,所以平面ABC平面BCD.同理,平面ACD平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018河北邢台调研)设,是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:若l,则l;若l,则l;若l,则l;若l,则l.则正确命题的个数为.
5、解析:错,可能有l;错,可能有l;正确;错,也可能有l,或l或l与相交.答案:17.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面上,且ACPC,平面PAC平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,平面PAC平面PBC=PC.所以AC平面PBC.又BC平面PBC,所以ACBC,所以ACB=90.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD
6、=1.(1)求证:BDAA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BDAC,又平面AA1C1C平面ABCD,且平面AA1C1C平面ABCD=AC,BD平面ABCD,所以BD平面AA1C1C,又因为AA1平面AA1C1C,所以BDAA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AEBC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以ACB=60,ACD=30,所以DCBC,所以AECD.因为CD平面DCC1D1,AE平面DCC1D1,故得AE平面DCC1D1.9.(201
7、8甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥DABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是(B)(A)(B)(C)(D)解析:设等腰直角ABC的腰长为a,则斜边BC=a,因为D为BC的中点,所以ADBC,又平面ABD平面ACD,平面ABD平面ACD=AD,BDAD,BD平面ABD,所以BD平面ADC,又AC平面ADC,所以BDAC,故正确;由A知,BD平面ADC,CD平面ADC,所以BDCD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=a=a,又AB=AC=a
8、,所以ABC是等边三角形,故正确;因为ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥DABC是正三棱锥,故正确.因为ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DFAC,又ABC为等边三角形,连接BF,则BFAC,所以BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD平面ADC可知,BDF为直角,BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故错误.综上所述,正确的结论是.故选B.10.(2018宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,为空间的两个平面,给出下列命题:若m,m,则 ;若m,m,则;若m,n,则mn;若m,n,则mn.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:若m,m,则
9、与相交或平行都可能,故不正确;若m,m,则,故正确;若m,n,则m与n相交、平行或异面,故不正确;若m,n,由线面垂直的性质定理知mn,故正确.答案:11.如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC, BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,ADBC,所以BEAC,BECD,即在题图2中,BEA1O,BEOC,且OA1OC
10、=O,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=SA1O=a2a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:ADPB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面AB
11、CD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为PAD为等边三角形,所以PGAD.在菱形ABCD中,DAB=60,G为AD的中点,所以BGAD.又BGPG=G,所以AD平面PGB.因为PB平面PGB,所以ADPB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF平面ABCD.证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EFPB,所以可得EF平面PGB.在菱形ABCD中,GBDE,所以可得DE平面PGB.而EF平面DEF,DE平面DEF,EFDE=E,所以平面DEF平面PGB.由(1)得PG平面ABCD,而PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD,所以平面DEF平面ABCD.5