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1、考点规范练23平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则=()A.12B.14C.1D.23.(2017浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB同方向的单位向量是()A.35,-45B.45,-35C.-35,45D.-45,354.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为()A.e1+e2B.-2
2、e1+e2C.2e1-e2D.2e1+e25.(2017湖南长沙调研)如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=146.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.7.(2017福建三明质检)已知向量a,b满足a=(3,1),|b|=1,且a=b,则实数=.8.(2017江苏南京盐城模拟)如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=BA+BD(,R),则+=.能力提升组9.(2017广东茂名二模)已知向量a=
3、(3,-2),b=(x,y-1),且ab,若x,y均为正数,则3x+2y的最小值是()A.24B.8C.83D.5310.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值是()A.1B.2C.3D.211.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=2,若m=13OA+23OB,则|m|的取值范围是()A.23,43B.13,23C.0,2D.0,25312.(2017浙江名校联考)在平面内,AB1AB2,|OB1|=3,|OB2|=4,AP=AB1+AB2,若
4、1|OP|2,则|OA|的取值范围是()A.(23,17)B.(17,21)C.(17,26)D.(21,26)13.已知向量a,b,且|b|=2,ab=2,则|tb+(1-2t)a|(tR)的最小值为.14.(2017浙江杭州模拟)已知A(cos ,3sin ),B(2cos ,3sin ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足关系CA=BC,则实数的取值范围是.15.如图,已知ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,且ADDB=BEEC=21,AE与CD交于点P.设存在和,使AP=AE,PD=CD,AB=a,BC=b.(1)求及;(2)用a,b表示BP;(3)求PAC的面
5、积.答案：1.D设点B的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y-5).由AB=3a,得x+1=6,y-5=9,解得x=5,y=14.2.A由于a+b=(1+,2),故(a+b)c4(1+)-6=0,解得=12,故选A.3.AAB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),故与AB同方向的单位向量为AB|AB|=35,-45.4.B以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系,由题意可得e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),因为a=xe1+ye2=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),则x-y=-3,y=1,解得x=-2,y=1,故a=-2e1
6、+e2.5.A由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.6.(-1,1)或(-3,1)由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).7.2很明显0,则b=a=3,1,据此有:32+12=1,解得=2.8.34由平面向量基本定理可得BE=12BA+12BO=12BA+14BD,故=12,=14,所以+=34.9.Bab,-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3.x,y均为正数,
7、3x+2y=3x+2y13(2x+3y)=136+9yx+4xy+61312+29yx4xy=8,当且仅当9yx=4xy时,等号成立,3x+2y的最小值是8,故选B.10.B法一:以O为原点,向量OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系,设=,0,2,则OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(cos ,sin ).由OC=xOA+yOB,x=cos,y=sin.x+y=cos +sin =2sin+4,+44,34,x+y的最大值为2.法二:点C在以O为圆心的圆弧AB上,|OC|2=|xOA+yOB|2=x2+y2+2xyOAOB=x2+y2=1(x+y)22.x+y2.当且仅当x
8、=y=22时等号成立.11.A由题意,设A(a,0),B(0,b),由|AB|=2,得a2+b2=4,m=13OA+23OB=13(a,0)+23(0,b)=13a,23b.|m|2=13a2+23b2=a2+4b29=4+3b29.又0b24,49|m|2169,得23|m|43.故选A.12.D根据题意,不妨以A为原点,分别以AB1,AB2为x轴,y轴建立平面直角坐标系xAy,如图所示,由AP=AB1+AB2,设|AB1|=a,|AB2|=b,则P(a,b).设O(x,y),且|OB1|=3,|OB2|=4,所以(x-a)2+y2=9(x-a)2=9-y2,x2+(y-b)2=16(y-b
9、)2=16-x2,将两式相加得(x-a)2+(y-b)2=25-(x2+y2),即|OP|2=25-|OA|2|OA|=25-|OP|2,又1|OP|2,所以21|OA|26.故选D.13.1设b=(2,0),a=(x,y),由ab=2得x=1,a=(1,y).tb+(1-2t)a=1+(1-2t)y.|tb+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y21,当且仅当t=12或y=0时取“=”.故所求最小值为1.14.-2,1且0CA=BC,(cos +1,3sin )=(-1-2cos ,-3sin ),1+cos =(-1-2cos ),3sin =-3sin ,1=cos2+sin2=(-1
10、-2cos )-12+(-sin )2,化为:=4cos+23cos2+4cos+2,令2cos +1=t-1,3.则=8t3t2+2t+3=f(t),f(t)=-24(t+1)(t-1)(3t2+2t+3)2,可知:t=1时,函数f(t)取得最大值,f(1)=1.又f(-1)=-2,f(3)=23,-2,1,由于t=0时,=0,点A与C重合,舍去.-2,1,0.故答案为:-2,1,0.15.解 (1)由于AB=a,BC=b,则AE=a+23b,DC=13a+b.AP=AE=a+23b,DP=DC=13a+b,AP=AD+DP=23AB+DP,即23a+13a+b=a+23b.=23+13,=23,解得=67,=47.(2)BP=BA+AP=-a+67a+23b=-17a+47b.(3)设ABC,PAB,PBC的高分别为h,h1,h2,h1h=|PD|CD|=47,SPAB=47SABC=8.h2h=|PE|AE|=1-=17,SPBC=17SABC=2,SPAC=4.