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1、对应学生用书P24一、两个计数原理的应用1分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类分别属于不同类的两种方法是不同的方法2分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准其次分步时要注意，完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成二、排列与组合概念及公式1定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素，若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合即排列和顺序有关，组合与顺序无关2排列数公式(1)An(n1)(n2)(nm1
2、)，规定A1.当mn时，An (n1)(n2)321.(2)A，其中An！，0！1.三、排列与组合的应用1在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算并作答2处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能3解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类和
3、准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略四、二项式定理及二项式系数的性质1二项式定理公式(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，其中各项的系数C(r0,1,2，n)称为二项式系数，第r1项Canrbr称为通项说明(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a，b的取值有关(2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题
4、意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质CC.(2)增减性与最大值：当r时，二项式系数C逐渐减小当n 是偶数时，展开式中间一项T1的二项式系数Cn最大；当n是奇数时，展开式中间两项T与T1的二项式系数Cn，Cn相等且最大(3)各项的二项式系数之和等于2n，即CCCC2n；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即CCCCCC.说明与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线
5、上)1从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为_解析：由题意可得不同的选法为C7种答案：72(湖南高考改编)5的展开式中x2y3的系数是_解析：由二项展开式的通项可得，第四项T4C2(2y)320x2y3，故x2y3的系数为20.答案：203现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学 、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是_解析：设男学生有x人，则女学生有(8x)人，则CCA90，即x(x1)(8x)30235，所以x3，8x5.答案：3,54将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字
6、母也互不相同，则不同的排列方法共有_种解析：由分步计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A212种排列方法答案：125(湖北高考改编)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a_.解析：Tr1C(2x)7rrC27rarx72r，令72r3，得r5，即T51C22a5x384x3，解得a1.答案：16甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有_种解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共在CCC96种答案：967CCCCC_.解析：CCCCCCC2664，CCCCC64262.答案：628.用
7、4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有_种解析：分四步依次涂A，B，C，D.开始涂A有4种涂法；再涂B有3种涂法；然后涂C有2种涂法；最后涂D，由于D和A，B不相邻，所以D可以和A或B同色，也可以和A，B不同色，所以共有3种涂法由分步计数原理得，共有432372(种)答案：729“2012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，则含有数字0,1,2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为_解析：由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求
8、的数共有2CCC18个答案：1810将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有_种解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人，另一个住2人，所以不同的分配方案共有CACA352212112种答案：11211一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是_解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个CC；第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个CC；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个CC，由分类计数原理得CCCCCC74.答案：7412(
9、重庆高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120.答案：12013.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_解析：只有第六项的二项式系数最大，则n10，Tr1C10rr2rCx5r，令5r0，得r2，T34C180.答案：18014.4(x1)5的展开式中x4的系数为_解析：4(x1)5(x1)5(x24x6x41)，x4的系数为
10、C(1)3C6C(1)45.答案：45二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)有三个袋子，其中第一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码第二个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？解：(1)从第一个袋子中取一个小球有20种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8种取法由分类计数原理可知共有201
11、5843种取法(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8种取法由分步计数原理可知共有201582 400种取法16(本小题满分14分)有0,1,2,3,4,5共六个数字(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A个；第二类，2在个位时有AA个；第三类，4在个位时有AA个；由分类计数原理知，共有四位偶数AAAAA156(个)(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的
12、五位数有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数有AA个故满足条件的五位数有AAA216(个)17(本小题满分14分)在(1x2)20的展开式中，如果第4r项和第r2项的二项式系数相等，(1)求r的值；(2)写出展开式中的第4r项和第r2项解：(1)第4r项和第r2项的二项式系数分别是C和C，CC4r1r1或4r1r120，解得r4或r(舍去)所以r4.(2)T4rT16C(x2)1515 504x30，Tr2T6C(x2)515 504x10.18(本小题满分16分)设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，求下列各式的值(1)a0a1a2a10；(2)a6.解：(1)令x1，得a0a1
13、a2a10(21)101.(2)a6即为含x6项的系数，Tr1C(2x)10r(1)rC(1)r210rx10r，所以当r4时，T5C(1)426x613 440x6，即a613 440.19(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上，问：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？解：6个人排有A种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C35种插法，故空位不相邻的坐法有AC25 200种(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元
14、素，往7个“间隔”里插，有A种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有AA30 240种(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有C种坐法；4个空位2个相邻，另有2个不相邻有CC种坐法；4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C种坐法综上所述，应有A(CCCC)115 920种坐法20(本小题满分16分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为NC243 360(种)即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，所以选取种数为NC45(种)即4只鞋子恰成双有45种不同取法(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法根据分步计数原理，不同取法为NCC221 440(种).