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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 讲 利用导数争论函数零点问题数形结合法争论零点问题 典例引领 已知 f x ax 2 aR, g x 2ln x. 1 争论函数 F x f x g x的单调性；2 如方程 f x gx 在区间 2,e 上有两个不相等的解,求 a 的取值范畴【解】1 F x ax 2 2ln x,其定义域为 0 , ,所以 F x 2ax2 x0,1 a上单调递减2（ax21） x0 x当 a 0 时,由 ax21 0,得 x1,a由 ax210,得 0x1,a故当 a 0 时, F x在区间1,a上单调递增,在区间
2、当 a0 时, F x 0 x0 恒成立故当 a0 时, F x在0 , 上单调递减2 原式等价于方程a2ln x 2 在区间 x2, e 上有两个不等解e 上为增函数,在 第 1 页,共 9 页 令 x 2ln x x 2,由 x 2x（12ln x）4 x易知, x 在2,e, e 上为减函数,7就 x max e 1 e,而 e 2 e 2, 2 ln 2. 2由 e 2 2 2eln 24e 2ln 222eln e4ln 2e 2 2e2ln 81 ln 2 2 2e0,2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3、- - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以 e 2 所以 xmin e ,如图可知 x a 有两个不相等的解时,需ln 2 2a1 e. ln 2,1 e 即 f x g x 在 2,e 上有两个不相等的解时a 的取值范畴为 2含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,如能分别参数,可将参数分别出来后,用 x 表示参数的函数,作出该函数图象,依据图象特点求参数的范畴利用函数性质争论函数零点 典例引领 已知函数 f x xln x,g x x2ax3ex a 为实数 a 的取值范1 当 a4 时,求函数yg x在 x0 处的切线方程；
4、2 假如关于x 的方程gx 2exf x 在区间1 e,e 上有两个不等实根,求实数围【解】1 当 a4 时, g x x24x3ex, g0 3,1 ,e 第 2 页,共 9 页 g x x 2 2x1ex,g0 1,所以,所求的切线方程为y3 x0,即 yx3. 2 由 g x 2exf x ,可得 2xln x x 2ax3,ax2ln x3 x. 设 h x x2ln x3 x x0 ,所以 h x 12 x3 x 2（x3）（ x1）2 x,所以 x 在1 e,e 上变化时, hx , h x 的变化如下：x 1 e,11h x0h x单调递减微小值 最小值 单调递增又 h1 e1
5、e3e2,h1 4,he 3 ee2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -且 he h1 e42e2 e0. 所以实数 a 的取值范畴为40 ；x0,2 3时, f x0 ,2 5留意 f 0 1,f 390,就 f x 的大致图象如图 1 所示：不符合题意,排除 A、C. 4 3当 a3时, f x 4x 26x 2x2 x3 ,就当 x ,2时, f x0 ,x 0 , 时, f x0 ,留意 f 0 1,f 24,
6、就 f x的大致图象如图 2 所示不符合题意,排除 D. 3. 函数f x 1 3x 3 ax2 bx c a, b, cR 的导函数的图象如图所示：1 求 a,b 的值并写出 f x 的单调区间；2 如函数 yf x 有三个零点,求 c 的取值范畴1解： 1 由于 f x 3x 3ax 2 bxc,所以 f x x 2 2axb. 由于 f x 0 的两个根为 1,2,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
7、 - -所以12 2a,1 2 b,解得 a1 2,b 2,由导函数的图象可知,当1x 2 时, f x 0,函数单调递减,当 x 1 或 x 2 时, f x 0,函数单调递增,故函数 f x 在 , 1 和2 , 上单调递增,在 1,2 上单调递减2 由1 得 f x 1 3x31 2x22xc,函数 f x在 , 1 ,2 , 上是增函数,在 1,2 上是减函数,所以函数 f x 的极大值为f 1 7 6c,7 6,10 3 . 微小值为 f 2 c10 3 . 而函数 f x 恰有三个零点,故必有7 6c0,c10 30,解得7 6c10 3 . 所以使函数f x 恰有三个零点的实数c
8、 的取值范畴是4已知 f x 1 xx e e3, F x ln xx e e3x2. 1 判定 f x 在0 , 上的单调性；2 判定函数 F x 在0 , 上零点的个数x 解： 1 f x 1 x 2e ex2e xe2ex,令 f x0,解得 x1,令 f x 0,解得 0x1,所以 f x在0 , 1 上单调递减,在1 , 上单调递增2 F x f x 1 xx e e3,由1 得. x1,x2,满意 0x11 x2,使得 f x在0 , x1 上大于 0,在 x1,x2 上小于 0,在 x2, 上大于0, 第 6 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即 F x 在0 ,x1 上单调递增,在 x1, x2 上单调递减,在 x2, 上单调递增,而 F1 0,x 0 时, F x , x时,F x ,画出函数 F x 的草图,如下列图故 F x 在0 , 上的零点有 3 个1已知函数 f x 2 a x1 2ln x a R 1 当 a1 时,求 f x 的单调区间；2 如函数 f x 在 0,1 3上无零点,求a的取值范畴解： 1 当 a1 时, f x x1 2ln x,就 f x1xx
10、2,由 f x0,得 x2,由 f x0,得 0x2,故 f x 的单调递减区间为0 ,2 ,单调递增区间为2 , 第 7 页,共 9 页 2 由于 f x 0 在区间0,1 3上恒成立不行能,故要使函数f x 在 0,1 3上无零点,只要对任意的x 0,1 3, f x 0 恒成立,即对 x 0,1 3,a22ln x x 1恒成立令 h x 22ln x x1,x 0,1 3,就 h x2 2ln xx2（x1）2 ,再令 m x2ln x2 x2,x 0,1 3,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
11、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就 m x2（1x）x0,1 故 m x 在 0,3上为减函数,1 于是, m x m 3 42ln 3 0,1 从而 h x 0,于是 h x 在 0,3上为增函数,1 所以 h xh 3 23ln 3 ,所以 a 的取值范畴为 2 3ln 3 , 22022 豫南九校联考 对于函数yH x ,如在其定义域内存在x0,使得x0Hx0 1 21. 成立,就称x0为函数 H x 的“ 倒数点” 已知函数f x ln x,g x 1 2 x11 求证：函数f x有“ 倒数点” ,并争论函数f x 的“ 倒数点” 的
12、个数；2 如当 x1 时,不等式xf x m gx x 恒成立,试求实数m的取值范畴解： 1 证明：设 hx ln x1 x x0 ,就 h x1 x1 x 20 x0 ,所以 h x在0 , 上为单调递增函数而 h1 0,he 0,所以函数 h x 有零点且只有一个零点所以函数 f x 有“ 倒数点” 且只有一个“ 倒数点” 2 xf x m g x x 等价于 2xln xm x21 ,d x d1 0,符合题意；设 d x 2ln xm x1 x,x1. 就 d xmx 22xmx 2,x1,易知 mx 22x m0 的判别式为 44 m 2. 当 m1 时, d x 0, d x在 1
13、 , 上单调递减,当 0 m1 时,方程 mx 22xm0 有两个正根且上单调递增,此时 d x d1 0,不合题意；0x11x2,就函数 d x 在1 ,x2当 m0 时, d x 0,d x 在1 , 上单调递增,此时d x d1 0,不合题意；当 1m0 时,方程 mx 22x m0 有两个负根, d x 在1 , 上单调递增,此时d x d1 0,不合题意；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 m 1 时, d x 0, d x 在1 , 上单调递增,此时d x d1 0,不合题意综上,实数m的取值范畴是 1 , 第 9 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -