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1、第 6 讲利用导数研究函数零点问题数形结合法研究零点问题 典例引领 已知f(x)ax2(aR)，g(x) 2ln x. (1) 讨论函数F(x) f(x) g(x)的单调性；(2) 若方程f(x) g(x) 在区间 2，e 上有两个不相等的解，求a的取值范围【解】(1)F(x) ax2 2ln x，其定义域为 (0 ， ) ，所以F(x) 2ax2x2（ax21）x(x0) 当a 0时，由ax21 0，得x1a，由ax210，得 0 x1a，故当a 0时，F(x)在区间1a，上单调递增，在区间0，1a上单调递减当a0时，F (x) 0(x0) 恒成立故当a0时，F(x)在(0 ， ) 上单调递
2、减(2) 原式等价于方程a2ln xx2在区间 2， e 上有两个不等解令(x) 2ln xx2，由(x) 2x（12ln x）x4易知，(x) 在(2，e) 上为增函数，在(e， e)上为减函数，则(x)ma x(e) 1e，而(e) 2e2，(2) ln 22. 由(e) (2) 2e2ln 224e2ln 22e2ln e4ln 2e22e2ln 81 ln 272e20，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - -
3、- - - - 所以(e) (2) 所以(x)min(e) ，如图可知(x) a有两个不相等的解时，需ln 22a1e. 即f(x) g(x) 在 2，e 上有两个不相等的解时a的取值范围为ln 22，1e) 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围利用函数性质研究函数零点 典例引领 已知函数f(x) xln x，g(x) ( x2ax3)ex(a为实数 ) (1) 当a4 时，求函数yg(x)在x0 处的切线方程；(2) 如果关于x的方程g(x) 2exf(x) 在区间1e，e 上有两个不等实根
4、，求实数a的取值范围【解】(1) 当a4 时，g(x) ( x24x3)ex，g(0) 3，g(x) (x2 2x1)ex，g(0) 1，所以，所求的切线方程为y3x0，即yx3. (2) 由g(x) 2exf(x) ，可得 2xln xx2ax3，ax2ln x3x. 设h(x) x2ln x3x(x0)，所以h(x) 12x3x2（x3）（x1）x2，所以x在1e，e 上变化时，h(x) ，h(x) 的变化如下：x 1e，11(1 ，e) h(x)0h(x)单调递减极小值 ( 最小值 )单调递增又h1e1e3e2，h(1) 4，h(e) 3ee2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - -
5、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 且h(e) h1e42e2e0. 所以实数a的取值范围为40 ；x0，23时，f(x)0 ，注意f(0) 1，f23590，则f(x) 的大致图象如图(1) 所示：不符合题意，排除A 、C. 当a43时，f(x) 4x26x 2x(2x3) ，则当x ，32时，f(x)0，x (0， ) 时，f(x)0 ，注意f(0) 1，f3254，则f(x)的大致图象如图(2) 所示不符合题意，排除D. 3. 函数
6、f(x) 13x3ax2bxc(a，b，cR) 的导函数的图象如图所示：(1) 求a，b的值并写出f(x) 的单调区间；(2) 若函数yf(x) 有三个零点，求c的取值范围解： (1) 因为f(x) 13x3ax2bxc，所以f(x) x2 2axb. 因为f(x) 0 的两个根为1，2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 所以12 2a，12b，解得a12，b 2，由导函数的图象可知，当1x 2
7、时，f(x) 0，函数单调递减，当x 1或x 2 时，f (x) 0，函数单调递增，故函数f(x) 在( ， 1) 和(2 ， ) 上单调递增，在( 1，2)上单调递减(2) 由(1) 得f(x) 13x312x22xc，函数f(x)在( ， 1) ，(2 ， ) 上是增函数，在( 1，2)上是减函数，所以函数f(x) 的极大值为f( 1) 76c，极小值为f(2) c103. 而函数f(x) 恰有三个零点，故必有76c0，c1030，解得76c103. 所以使函数f(x) 恰有三个零点的实数c的取值范围是76，103. 4已知f(x) 1xexe3，F(x) ln xexe3x2. (1)
8、判断f(x) 在(0 ， ) 上的单调性；(2) 判断函数F(x) 在(0 ， ) 上零点的个数解： (1)f(x) 1x2exex2exeex2，令f(x)0，解得x1，令f(x) 0，解得 0 x1，所以f(x)在(0 ， 1)上单调递减，在(1 ， ) 上单调递增(2)F(x)f(x) 1xexe3，由(1) 得?x1，x2，满足 0 x11x2，使得f(x)在(0 ，x1) 上大于 0，在 (x1，x2) 上小于 0，在 (x2， ) 上大于0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
9、- - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 即F(x) 在(0，x1) 上单调递增，在(x1，x2) 上单调递减，在(x2， ) 上单调递增，而F(1) 0，x 0 时，F(x) ，x时，F(x) ，画出函数F(x) 的草图，如图所示故F(x) 在(0， ) 上的零点有3 个1已知函数f(x) (2 a)(x1) 2ln x(a R ) (1) 当a1 时，求f(x) 的单调区间；(2) 若函数f(x) 在 0，13上无零点，求a的取值范围解： (1) 当a1 时，f(x) x1 2ln x，则f(x)12xx2x，由f(x)0，得x2，由f(x
10、)0，得 0 x2，故f(x) 的单调递减区间为(0 ，2) ，单调递增区间为(2 ， ) (2) 因为f(x) 0 在区间0，13上恒成立不可能，故要使函数f(x) 在 0，13上无零点，只要对任意的x 0，13，f(x) 0 恒成立，即对x 0，13，a22ln xx 1恒成立令h(x) 22ln xx1，x 0，13，则h(x)2ln x2x2（x1）2，再令m(x)2ln x2x2，x0，13，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9
11、页 - - - - - - - - - 则m(x)2（1x）x20，故m(x) 在 0，13上为减函数，于是，m(x) m13 42ln 3 0，从而h(x) 0，于是h(x) 在 0，13上为增函数，所以h(x)h13 23ln 3 ，所以a的取值范围为 2 3ln 3 ， ) 2(2018豫南九校联考) 对于函数yH(x) ，若在其定义域内存在x0，使得x0H(x0) 1成立，则称x0为函数H(x) 的“倒数点”已知函数f(x) ln x，g(x) 12(x1)21. (1) 求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x) 的“倒数点”的个数；(2) 若当x1 时，不等式xf(x) m
12、g(x) x 恒成立，试求实数m的取值范围解： (1) 证明：设h(x) ln x1x(x0)，则h(x)1x1x20(x0) ，所以h(x)在(0 ， ) 上为单调递增函数而h(1) 0，h(e) 0，所以函数h(x) 有零点且只有一个零点所以函数f(x) 有“倒数点”且只有一个“倒数点”(2)xf(x) mg(x) x 等价于 2xln xm(x21) ，设d(x) 2ln xmx1x，x1. 则d(x)mx22xmx2，x1，易知mx22xm0 的判别式为 44 m2. 当m1 时，d (x) 0，d(x)在 1 ， ) 上单调递减，d(x) d(1) 0，符合题意；当 0m1 时，方程
13、mx22xm0 有两个正根且0 x11x2，则函数d(x) 在(1，x2)上单调递增，此时d(x) d(1) 0，不合题意；当m0 时，d(x) 0，d(x) 在(1 ， ) 上单调递增，此时d(x) d(1) 0，不合题意；当 1m0时，方程mx22xm0有两个负根，d(x) 在(1 ， ) 上单调递增，此时d(x) d(1) 0，不合题意；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 当m 1 时，d(x) 0，d(x) 在(1， ) 上单调递增，此时d(x) d(1) 0，不合题意综上，实数m的取值范围是1 ， ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -