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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习数学理科2022 01挑选题共 40 分一、挑选题：本大题共8 小题,每题5 分,共 40 分在每题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的1复数25iB2 51 i 5C105iD10 35i 3A 2i2如图,正方形ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点那么EF=A 1 2AB-1ADB1 4AB+1ADDEC32C1 3AB+1DAD1 2AB-2ADAF23B3假设数列 a n满意：1a =19 ,a n1a n3 nN *,就数列 a n的前
2、 n 项和数值最大时,n 的值是A 6B 7C 8=l,就D 94已知平面,直线l,假设,A 垂直于平面的平面肯定平行于平面B垂直于直线 l 的直线肯定垂直于平面C垂直于平面 的平面肯定平行于直线 lD垂直于直线 l 的平面肯定与平面 , 都垂直5函数 f x = A sin2 x A , R 的部分图象如下图,那么f 0 = f x = A sin2 x , R A 1B32 2C1 D3高三数学试题理科第 1 页共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6执行如下图的程序框图,输出的i 值为开头A 5B 6i
3、=1,s=0 i= i +1 C 7D 8s=s+2 i -1is100 是否输出 i终止7已知函数f x cos 2xsinx ,那么以下命题中是, 0 上恰有一个零点A f x 既不是奇函数也不是偶函数Bf x 在 Cf x 是周期函数Df x 在 2,上是增函数8点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形 C 的距离, 那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不行能是A 圆B椭圆C双曲线的一支D直线二、填空题：本大题共6小题,每题 5分,共 30分,把答案填在题中横线上9x5 1的绽开式中2x 的系数是用数字作答xy40,10假设实数x y满意xy20
4、,就 z =x2y 的最大值为2xy50,11抛物线x2ay 过点A1, 14,就点 A 到此抛物线的焦点的距离为12甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温单位：C 用茎叶图记录如下,依据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是 _,气温波动较大的城市是 _甲城市 乙城市9 0 8 7 7 3 1 2 4 7 2 2 0 4 7 高三数学试题理科第 2 页共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13已知圆C: x2 1y22,过点A 1,0的直线 l 将圆 C 分成弧长之比为1: 3 的两段圆弧,就直线 l 的
5、方程为14已知正三棱柱 ABC A B C 的正主视图和 侧 左 视 图 如 下 图 设 ABC 3 A B C 的中心分别是 O ,O ,现将此三棱柱 4绕直线 OO 旋转,射线 OA 旋转所成的角为 x 正（主）视图 侧（左）视图弧度 x 可以取到任意一个实数,对应的俯视图的面积为 S x ,就函数 S x 的最大值为；最小正周期为说明： “ 三棱柱绕直线 OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向,逆时针方向旋转时,OA 旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时,OA 旋转所成的角为负角三、解答题 ：本大题共6 小题 ,共 80 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15本小题总分值13 分
6、在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,A2B ,sinB33求 cos A及 sin C 的值；假设b2,求ABC 的面积16本小题总分值13 分为加强高校生实践、创新才能和团队精神的培育,促进高等训练教学改革,训练部门主办了全国高校生智能汽车竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参与决赛的队伍依据抽签方式打算出场次序通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参与决赛求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ,求 X 的分布列和数学期望名师归纳总结 高三数学试题理科第 3 页共5 页第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 17本小题总分值 14 分在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB CD ,ABC90,ABPBPCBC2 CD ,平面 PBC平面 ABCD P求证：AB平面 PBC ；求平面PAD 和平面 BCP 所成二面角小于90 的大小；在棱 PB 上是否存在点M 使得 CM 平面 PAD ？假设存在,求PM的值；假设不存在,请说明理由BCDAPB18本小题总分值13 分已知函数f x x e x2axa ,其中 a 是常数当a1时,求曲线yf x 在点 1, 1处的切线方程；假设存在实数k ,使得关于 x的方程f k 在 0, 上有两个
8、不相等的实数根,求 k 的取值范畴19本小题总分值 13 分已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 0,1 ,且离心率为 3, Q 为椭圆 C 的左顶点2求椭圆 C 的标准方程；已知过点 6,0 的直线l与椭圆C交于A,B两点5假设直线 l 垂直于 x 轴,求 AQB 的大小；假设直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 QAB 为等腰三角形？假设存在,求出直线 l 的方程；假如不存在,请说明理由20本小题总分值14 分, nN*,假设集合A=a a2,a mM mN*,且对已知集合 M =1,2,3,任意的 bM ,存在a aA1ijm ,使得b=1a i2a 其中1,21,0,1
9、,就称集合 A为集合 M 的一个 m 元基底分别判定以下集合A 是否为集合 M 的一个二元基底,并说明理由； A =1,5 , M =1,2,3, 4,5 ； A =2,3 , M =1,2,3, 4,5, 6 名师归纳总结 高三数学试题理科第 4 页共5 页第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假设集合A是集合M的一个m元基底,证明：m m1n ； 假设集合 A为集合 M =1,2,3,19 的一个 m 元基底, 求出 m 的最小可能值, 并写出当 m 取最小值时 M 的一个基底A第 5 页共5 页高三数学试题理科名师归纳总结 -
10、 - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 海淀区高三年级第一学期期末练习数学理科202201 参考答案及评分标准一. 挑选题：本大题共8 小题,每题5 分,共 40 分. 78题号12 3456答案A D B D C A B D 二.填空题：本大题共6小题,每题 5分,共 30分 . 9 510 7115 412乙,乙 13y3 3x1或y3 3x114 8 ；3注：13题正确答出一种情形给3分,全对给 5分；12、14题第一空 3分；其次空 2分. 三.解答题：本大题共6小题,共 80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 分
11、3 分5 分6 分8 分10 分15本小题总分值13 分解：由于A2B ,所以cosAcos2B12sin2B . 由于sinB3,3所以cosA1211. 33由题意可知,B0,2. 所以cosB1sin2B6. 3由于sinAsin 2 B2sinBcosB2 2. 3所以 sinCsinABsinABsinAcosBcosAsinB5 3. 9由于bBaA,b2, sinsin数学参考答案第 1页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以2a. 32 23311 分134 分5 分6 分10所以a4
12、6. 3所以SABC1absinC202. 2916本小题总分值13 分解：设 “甲、乙两支队伍恰好排在前两位” 为大事 A ,就P A2 3.1. 5.10所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为1. 10 随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3 . P X024.2,5.5P X1323.3,5.10P X222.32.1,5.5P X323.1. 5.10随机变量 X 的分布列为：X0312313 分P2311510510由于EX02132111,510510所以 随机变量 X 的数学期望为 1. 17本小题总分值14 分证明：由于ABC90, 1分所以ABBC . 由于 平面
13、PBC平面 ABCD ,平面 PBC平面 ABCDBC ,数学参考答案第 2页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB 平面 ABCD ,所以 AB 平面 PBC . 3 分解：取 BC 的中点 O ,连接 PO . 由于 PB PC ,所以 PO BC . 由于 平面 PBC 平面 ABCD ,平面 PBC 平面 ABCD BC ,PO 平面 PBC ,所以 PO 平面 ABCD . 4 分如图,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴,
14、OP 所在的直线为 z轴建立空间直角坐标系 O xyz 不妨设 BC 2 .由直角梯形 ABCD 中 AB PB PC BC 2 CD 可得 P 0,0, 3,D 1,1,0,A 1,2,0 . z所以 DP 1, 1, 3,DA 2,1,0 . P设平面 PAD 的法向量 m = , , . m DP 0, C D由于m DA 0. B OA yx所以 , , 1, 1, 3 0, , , 2,1,0 0,即 x y 3 z 0,2 x y 0.令 x 1,就 y 2, z 3 . 所以 m = 1, 2, 3 . 7 分取平面 BCP 的一个法向量 n 0,1,0 . 所以 cos m n
15、 m n 2 . m n 2所以 平面 ADP 和平面 BCP 所成的二面角小于 90 的大小为 . 4 9 分解：在棱 PB 上存在点 M 使得 CM 平面 PAD ,此时 PM 1. 理由如PB 2下： 10 分取 AB 的中点 N ,连接 CM , CN , MN . 数学参考答案第 3页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就MN PA ,AN1AB . P2由于AB2 CD ,所以 AN CD . M由于 AB CD ,CD所以 四边形 ANCD 是平行四边形 . 所以 CN AD . B N A
16、由于 MN CN N , PA AD A,所以 平面 MNC 平面 PAD . 13 分由于 CM 平面 MNC ,所以 CM 平面 PAD . 14 分18 本小题总分值 13 分解： 由 f x e xx 2ax a 可得x 2f e x a 2 x . 2 分当 a 1 时 , f 1 e , f 1 4e . 4 分所以 曲线 y f x 在点 1, 1 处的切线方程为 y e 4e x 1,即 y 4e x 3e . 5 分令 f e xx 2 a 2 0,解得 x a 2 或 x 0 . 6 分当 a 2 0,即 a 2 时,在区间 0, 上,f 0,所以 f x 是 0, 上的增
17、函数 . 所以 方程f x k 在 0, 上不行能有两个不相等的实数根. 8 分当a2 0,即a2时,f ,fx 随 x 的变化情形如下表x00,a2a2 a2,f 00f x aa4a e2数学参考答案第 4页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由上表可知函数f x 在 0, 上的最小值为f a2a4. a e2 10 分由于 函数 f x 是 0, a 2 上的减函数,是 a 2, 上的增函数,且当 x a 时,有 f x e a a a . 11 分所以 要使方程 f x k 在 0, 上有两个不相
18、等的实数根,k 的取值范畴必需是a 4 a 2 , a . 13e19本小题总分值 13 分2 2解：设椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 a b 0,且 a 2b 2c . 2a b由题意可知：b 1,c 3. 2 分a 2所以 a 24 . 2所以,椭圆 C 的标准方程为 x y 21 . 3 分4由得 Q 2,0 .设 A x y 1 , B x 2 , y 2 . 当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x 6. 5x 6 , x 6 , x 6,由 2 5解得：5 或 5xy 21 y 4y 4.4 5 5即 A 6 4, , B 6, 4不妨设点 A 在 x 轴上方
19、. 5 5 5 5 5 分就直线 AQ 的斜率 k AQ 1,直线 BQ 的斜率 k BQ 1 . 由于 k AQ k BQ 1,所以 AQ BQ . 所以 AQB . 6 分2数学参考答案第 5页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当直线l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线AB 的方程为yk x6k0. 5由yk x6,消去 y 得：25100 k22 x2 240 k x144 k21000. 8 分,11 分x5x2y214由于 点6,0在椭圆 C 的内部,明显0 . 5x 1x 2240 k2
20、2, 25 100 kx x 22 14425 100 k 100.k 2由于QAx 12,y 1, QBx 22,y 2,y 1k x 16,y 2k x2655所以QA QBx 12x 22y y 2x 12x22k x 16k x26551k2x x226k2x 1x 2436k25251k2144k210026k2240k2k2436k20. 25100k252510025所以QAQB. 所以QAB 为直角三角形 . 假设存在直线l 使得QAB 为等腰三角形,就QAQB. Ay取 AB 的中点 M ,连接 QM ,就 QMAB . 记点6,0为 N . QBNO5另一方面,点M 的横坐
21、标x Mx 12x2120k2k2524k22,2510020k所以 点 M 的纵坐标yMk xM656kk2. 520所以QMNM1016k2,56kk2 56k2,56 kk2520k2202020数学参考答案第 6页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 60132 k20. 520k22所以 QM与NM不垂直,冲突 . 所以 当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得 QAB 为等腰三角形 . 13 分20本小题总分值 14 分解： A 1,5 不是 M 1,2,3,4,5 的一个二元基底
22、 . 理由是 3 1 1 2 5 1 , 2 1,0,1 ； A 2,3 是 M 1,2,3,4,5,6 的一个二元基底 . 理由是 1 1 2 1 3,2 1 2 0 3,3 0 2 1 3 ,4 1 2 1 2,5 1 2 1 3,6 1 3 1 3 . 3 分不妨设 a 1 a 2 a ,就形如 1 a i 0 a 1 i j m 的正整数共有 m 个；形如 1 a i 1 a 1 i m 的正整数共有 m 个；形如 1 a i 1 a 1 j i j m 的正整数至多有 C m 2个；形如 1 a i 1 a 1 i j m 的正整数至多有 C m 2个. 又集合 M 1,2,3, ,
23、 n 含 n 个不同的正整数,A 为集合 M 的一个 m 元基底 . 故 m m C m 2C m 2n ,即 m m 1 n . 8 分由可知 m m 1 19,所以 m 4 . 当 m 4 时,m m 1 19 1,即用基底中元素表示出的数最多重复一个 . * 假设 A a a 2 , a a 4 为 M 1,2,3, ,19 的一个 4 元基底,不妨设 a 1 a 2 a 3 a ,就 a 4 10 . 数学参考答案第 7页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当a 410时,有a 39,这时a 2
24、8或 7 . 假如 a 2 8,就由 1 10 9,1 9 8,18 9 9,18 10 8 ,与结论 *冲突 . 如 果 a 2 7, 就 a 1 6 或 5 . 易 知 A 6,7,9,10 和 A 5,7,9,10 都 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元基底,冲突 . 当 a 4 11 时 , 有 a 3 8, 这 时 a 2 7,a 1 6, 易 知 A 6,7,8,11 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元基底,冲突 . 当 a 4 12 时 , 有 a 3 7, 这 时 a 2 6,a 1 5, 易 知 A 5,6,7,12 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元
25、基底,冲突 . 当 a 4 13 时 , 有 a 3 6,a 2 5,a 1 4, 易 知 A 4,5,6,13 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元基底,冲突 . 当 a 4 14 时 , 有 a 3 5,a 2 4,a 1 3, 易 知 A 3,4,5,14 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元基底,冲突 . 当 a 4 15 时 , 有 a 3 4,a 2 3,a 1 2, 易 知 A 2,3,4,15 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元基底,冲突 . 当 a 4 16 时 , 有 a 3 3,a 2 2,a 1 1, 易 知 A 1,2,3,16 不 是M 1,2,3, ,19 的 4 元基底,冲突 . 当 a 4 17 时, A 均不行能是 M 的 4 元基底 . 当 m 5 时, M 的一个基底 A 1,3,5,9,16；或3,7,8,9,10 ；或 4,7,8,9,10 等,只要写出一个即可 . 综上, m 的最小可能值为 5. 14 分数学参考答案第 8页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页