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1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a的值为()A.3B.22C.3或-5D.-3或52.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()A.-1或3B.1或3 C.-2或6D.0或43.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=04.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为()A.x+y-3=0B.x+y-
2、1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=05.(2017湖南四地联考)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.66.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为.7.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B两点,且ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-3y+3-2=0相切.(1)求圆C的方程;(2)若圆C上有两点M,N关于直
3、线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程.9.(2018云南昆明调研)已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E,F两点,线段EF的中点为C.(1)求点C的轨迹C2的方程;(2)若过点A(1,0)的直线l1与C2相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|AN|为定值.B组提升题组1.已知直线3x+4y-15=0与圆O:x2+y2=25交于A,B两点,点C在圆O上,且SABC=8,则满足条件的点C的个数为()A.1B.2C.3D.42.过直线kx+y+3=0上一点P作圆C:x2+
4、y2-2y=0的切线,切点为Q.若|PQ|=3,则实数k的取值范围是 .3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.4.(2017课标全国理,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.答案精解精析A组基础题组1.C解法一:联立y=x+4,(x-a)2+(y-3)2=8,消去y可得,2x2-
5、(2a-2)x+a2-7=0,则由题意可得=-(2a-2)2-42(a2-7)=0,整理可得a2+2a-15=0,解得a=3或-5.解法二:(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为(a,3),半径为22,由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,即|a-3+4|12+(-1)2=22,即|a+1|=4,解得a=3或-5.2.D因为圆(x-a)2+y2=4,所以圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线的距离d=|a-2|2,因为d2+2222=r2,解得a=4或0.故选D.3.B过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,点(3,1)在圆(
6、x-1)2+y2=r2上,圆心与切点连线的斜率k=1-03-1=12,切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B.4.C由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为2,所以|-k-2+2k+3|k2+1=2,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.5.C圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为2.因为圆C关于直线2ax+by+6=
7、0对称,所以圆心C在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离d=(a+1)2+(b-2)2=(a+1)2+(a-3-2)2=2a2-8a+26=2(a-2)2+18.所以当a=2时,d取最小值18=32,此时切线长最小,为(32)2-(2)2=16=4,所以选C.6.答案94解析由圆C1与圆C2外切,可得(a+b)2+(-2+2)2=2+1=3,即(a+b)2=a2+2ab+b2=9,根据基本不等式可知9=a2+2ab+b22ab+2ab=4ab,即ab94,当且仅当a=b时,等号成立.7.答案1解析由题意得圆心(1,-a)到直线ax+y-1
8、=0的距离为22,所以|a-a-1|1+a2=22,解得a=1.8.解析(1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-3y+3-2=0相切,圆心(-2,1)到直线x-3y+3-2=0的距离d=41+3=2=r,圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则可设直线MN的方程为2x-y+c=0,|MN|=23,半径r=2,圆心(-2,1)到直线MN的距离为22-(3)2=1,即|-4-1+c|5=1,c=55,直线MN的方程为2x-y+55=0.9.解析(1)圆
9、C1的圆心为C1(1,4),半径为5.设C(x,y),则C1C=(x-1,y-4),CG=(5-x,4-y),由题设知C1CCG=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4.(2)证明:直线l1与圆C2相交于两点,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.由kx-y-k=0,x+2y+2=0,得N2k-22k+1,-3k2k+1,又直线C2M与l1垂直,由y=kx-k,y-4=-1k(x-3)得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2.|AM|AN|=|AMAN|=2|2k+1|1+k21+k231+k2|2k+1|=6,
10、即|AM|AN|为定值6.B组提升题组1. C圆心O到已知直线的距离为d=|-15|32+42=3,因此|AB|=252-32=8,设点C到直线AB的距离为h,则SABC=128h=8,所以h=2,由于d+h=3+2=5=r(圆的半径),因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切,一条与圆相交,故符合条件的点C有三个.2.答案(-,-33,+)解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径为r=1.根据题意,PQ是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,Q是切点,|PQ|=3,则|PC|=2.当PC与直线kx+y+3=0垂直时,圆心到直线的距离最大.由点到直线的距离公式得|4|k2+
11、12,解得k(-,-33,+).3.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为
12、4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.4.解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1y2x2=-44=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),因此 APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516.