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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载人教版九年级数学下二次函数最全的中考学问点总结相关概念及定义-郑州汇杰训练教研组总结二次函数的概念：一般地,形如yax2bxc（ a, , 是常数,a0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数yax2bxc的结构特点： 等号左边是函数, 右边是关于自变量x的二次式, x 的最高次数是2a, , 是常数,a是二次项系数, b 是一次项系数,c是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数 y ax 2bx c 用配方法可化成：y a x h 2k 的
2、形式,其2中 h b,k 4 ac b . 2 a 4 a二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 , 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： y ax 2； y ax 2 k； y a x h 2； y a x h 2k； y ax 2 bx c . 二次函数解析式的表示方法2一般式：y ax bx c （ a, b , c 为常数,a 0）；2顶点式：y a x h k （ a , h , k 为常数,a 0）；两根式：y a x x 1 x x 2 （a 0,1x ,x 是抛物线与 x轴两交点的横坐标） . 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成
3、交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示互化 . yax2bxc 图象的画法二次函数二次函数解析式的这三种形式可以五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y ax 2bx c 化 为 顶 点 式2y a x h k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c、与 x轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与
4、x 轴的交点,与 y 轴的交点 . 名师归纳总结 二次函数yax2的性质对称性质第 1 页,共 7 页顶点坐a的符号开口方 向标轴a0向上0,0y 轴x 0 时,y随x的增大而增大；x 0 时,y 随 x 的增大而减小；x 0 时,y有最小a0向下0,0y 轴值0x0时,y随x的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时,y有最大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载值 0 二次函数yax2c 的性质对称性质a的符号开口方 向顶点坐标轴a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随 x 的增大而减小；x0
5、时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 二次函数ya xh2的性质：性质a的符号开口方 向顶点坐对称标轴a0向上h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时,y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 二次函数ya xh2k 的性质性质a的符号开口方 向顶点坐对称标轴a0向上h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而增大； x
6、h 时,y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 名师归纳总结 抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0时,开口向上；当a0时,a 的符号打算抛物线的开口方向：当a开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x b . 特殊地, y 轴记作2 a直线 x 0 . 2顶点
7、坐标：（b,4 ac b）2 a 4 a顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数, 假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 抛物线 y ax 2 bx c 中,a , b , c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数yax2bxc中, a作为二次项系数,明显a0a 的值越小,开 当a0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之口越大；0时,抛物线开口向下,a越小,开口越小,反之a 的值越大,开 当a口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a的正负打算开口方向,a的大小打算开口的大小一次项系数 b在二次项系数 a确定的前提下,
8、b 打算了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下,当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2 a 在 a 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2 a总结起来,在 a确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c 当c0时,抛物线与y轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵
9、坐标为正； 当c0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当c0时,抛物线与y轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法2 2公 式 法 ：y ax 2 bx c a x b 4 ac b, 顶 点 是2 a 4 a2（b,4 ac b）,对称轴是直线 x b. 2 a 4 a 2 a
10、2配方法： 运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为 y a x h k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 x h . 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,是顶点 . 对称轴与抛物线的交点用配方法求得的顶点, 再用公式法或对称性进行验证, 才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式 . 顶点式：yaxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、x ,通常选用交点式：yaxx 1
11、xx2. 直线与抛物线的交点2y 轴与抛物线 y ax bx c 得交点为 0, c. 与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2bx c 有且只有一个交点 h , ah 2 bh c . 抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 y ax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、x ,是对应一元二次方程 ax 2bx c 0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在 x轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
12、可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时, 两交点的纵坐标名师归纳总结 相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . 第 4 页,共 7 页一次函数ykxnk0的图像 l 与二次函数yax2bxca0的图像 G 的交点,由方程组ykxnc的解的数目来确定：方程y2 axbx组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 . 抛物线与 x 轴两交点之间的距离： 如抛物线yax2bxc与 x轴两交点为Ax 1,Bx2,由于x 、x 是方程ax2bxc0的两个根,故x1x 2b
13、,x 1x2caa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABx 1x 2x 1x 22x 1学习必备欢迎下载b24 cb2a4 acax 224x 1x 2aa二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或 顶点式表达 关于 x轴对称y2 a xhb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bx2c ；ya x2k 关于 x轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于 y 轴对称y2 a xhb x关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bx2c；ya x2k 关于 y轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于原点对称y2
14、a xxb x关于原点对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；ya2 h关于原点对称后,得到的解析式是a xh2k ；关于顶点对称y2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bx2c2 b2 a；2 nkya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xhhk 关于点m,n对称2m2yya xa xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,
15、再确定其对 称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移 平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h,k； 保持抛物线 y ax 的外形不变, 将其顶点平移到 h,k 处,详细平移方法如下：y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上 “ h 值正右移,负左移；概括成八个字“ 左加右减,上加下减”k值正上移,负下移 ”名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎
16、下载依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路；三点式；1,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3 ,0）,B（23,0）,C（0,-3 ）三点,求抛物线的解析式；2,已知抛物线 y=ax-1+4 , 经过点 A（2,3）,求抛物线的解析式；顶点式；1,已知抛物线 y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为 A（2,1）,求抛物线的解析式；2,已知抛物线 y=4x+a 2-2a 的顶点为（ 3,1）,求抛物线的解析式；交点式；1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（ 3,0）,5,0, 的解析式；求抛物线 y=x-ax-b2,已知抛物线线与 x 轴两个交点（ 4,0）,（1,0）求抛物线 y
17、= 的解析式；1 ax-2ax-b 2定点式；1,在直角坐标系中, 不论 a 取何值,抛物线 y 1x 2 5 ax 2 a 2 经过 x 轴2 2上肯定点 Q,直线 y a 2 x 2 经过点 Q,求抛物线的解析式；2,抛物线 y= x 2 +2m-1x-2m 与 x 轴的肯定交点经过直线 y=mx+m+4,求抛物线的解析式；3,抛物线 y=ax 2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点 A,求抛物线的解析式；平移式；1,把抛物线 y= -2x 2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到抛物线 y=a x-h 2 +k, 求此抛物线解析式；2,抛物线 y x 2x
18、 3 向上平移 , 使抛物线经过点 C0,2, 求抛物线的解析式 . 距离式；1,抛物线 y=ax 2+4ax+1a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为 2,求抛物线的解析式；2,已知抛物线 y=m x 2+3mx-4mm 0 与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C 点,且 AB=BC,求此抛物线的解析式；对称轴式；1、抛物线 y=x 2-2x+m 2-4m+4与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式；2、已知抛物线 y=-x 2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点,交 y 轴于点 C,且 OB-OA= 3
19、OC,求此抛物线的解析式；4对称式；1,平行四边形 ABCD对角线 AC在 x 轴上,且 A（-10 ,0）,AC=16,D（2,6）；AD交 y 轴于 E,将三角形 ABC沿 x 轴折叠,点 B 到 B1的位置,求经过 A,B,E三点的抛物线的解析式；2,求与抛物线 y=x 2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式；切点式；1,已知直线 y=ax-a 2a 0 与抛物线 y=mx 2 有唯独公共点, 求抛物线的解析式；2, 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax 2 +k 的唯独公共点 A（2,1）, 求抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载判别式式；1、已知关于 X 的一元二次方程（ m+1）x 2+2m+1x+2=0 有两个相等的实数根,求抛物线 y=-x 2+m+1x+3 解析式；2、已知抛物线 y=a+2x 2-a+1x+2a 的顶点在 x 轴上 , 求抛物线的解析式；3、已知抛物线 y=m+1x 2+m+2x+1 与 x 轴有唯独公共点,求抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页