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1、福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、单选题（共12题；共60分）1. 已知复数满足，则Z对应点所在的象限是（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.B.C.D.3.等比数列中，函数，（ ）A.B.C.D.4. 已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）A.B.C.D.5. 设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（ ）A.B.
2、C.D.6. 若函数的图象与直线相切，则（ ）A.B.C.D.7.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.8.已知函数，则（ ）A.有个零点B.在上为减函数C.的图象关于点对称D.有个极值点9. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）A.B.C.D.10.直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值（ ）A.3B.2C.D.11. 若函数对任意都有，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（共4题；共20分）13. 是虚数单位，复数 _14. 已知函数在处取得极值，则实
3、数 _15. （e为自然对数的底数）_16.定义在R上的可导函数，当时，恒成立，则a,b,c的大小关系为_ 三、解答题（共6题；共70分）17.如图，由，围成的曲边三角形，在曲线弧上有一点 . （1）求以为切点的切线方程；（2）若与，两直线分别交于两点，试确定的位置，使面积最大18.设函数，若函数在处与直线相切（1）求实数a，b的值；（2）求实数在上的最大值 19.在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值20.已知函数（1）求函数的单调区间
4、；（2）若恒成立，求的值. 21.已知函数，e为自然对数的底数（1）如果函数在(0， )上单调递增，求m的取值范围；（2）设，且，求证：22. 已知函数 . （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，且，证明： .高二月考理科数学答案一、单选题1.【答案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】由题意设 ，由 ，得 ， ，所以 ，在第四象限， 【分析】本题利用复数模的求解公式和复数相等的条件，即实部相等且虚部相等求出复数的实部和虚部，从而根据复数的实部和虚部判断复数对应的点Z的位置，再利用复数与共轭复数实部相等，虚部相反找出共轭复数对应的点的位置，从而判断出共轭复数所对应
5、点所在象限。2.【答案】A 【考点】定积分在求面积中的应用，几何概型 【解析】【解答】叶形图的面积为：【分析】结合微积分基本定理计算阴影面积，利用几何概型，即可得出答案。3.【答案】C 【考点】导数的运算，等比数列的性质 【解析】【解答】因为函数 ， ，则 f(0)=a1a2a8=(a1a8)4 =212 【分析】对f（x）进行求导，得到导函数，f（0）=a1a2a3a8 ， 再由等比中项即可得出答案.4.【答案】 A 【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系 【解析】【解答】由 的图像，当 时， ，当 时， ，所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，只有A项符合， 【分析】首先根据函数
6、导数符号和函数单调性的关系得出函数在 和 上单调递减，在 上单调递增，由此得出函数的图像。5.【答案】D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由 ，得 ，所以函数f(x)的减区间为（0,4） 在区间a1，a+2上单调递减，则 实数a的取值范围是（1，2【分析】求导数，令导数小于0，可得函数的单调减区间，根据函数在区间 a 1 , a + 2 上单调递减，得出不等式组，即可求出实数 a 取值范围。6.【答案】B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】解：设切点为 ，则由题意知 即 解得 或者 【分析】先设切点再求导，利用切点既在切线上又在曲线上解方程组即得.7.【
7、答案】C 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】由题意可得： ，令 可得： ，且： ，据此可知函数 在区间 上的最小值为 ，结合恒成立的条件可得： ，求解关于m的不等式可得实数 的取值范围是 .【分析】结合f(x)的导函数，判单f(x)单调性，计算出在-3,3的最小值，即可解出m的范围，即可得出答案。8.【答案】B 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：因为 恒成立，所以函数没有零点，A不正确， 不是奇函数，所以 的图像不关于原点对称，从而得到 的图象也不关于 点对称，C不正确， ，方程 只有一个解，所以函数 不会有 个极值点，D不正确，而 在
8、 上恒成立，故 在 上为减函数，所以B符合题意，【分析】求导，分别判断即可。9.【答案】C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条平行直线间的距离 【解析】【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x2平行的直线的切点时，距离最小；曲线 故令y=3x =1解得：x=1；故点P的坐标为（1， ）；故点P到直线y=x 的最小值为： = ；【分析】由题意作图，故当点P是曲线的切线中与直线 平行的直线的切点时，距离最小10.【答案】D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】设A（x1 ， a），B（x2 ， a），则2（x1+1）=x2+lnx2 ， x1= （
9、x2+lnx2）1，|AB|=x2x1= （x2lnx2）+1，令y= （xlnx）+1，则y= （1 ），函数在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，x=1时，函数的最小值为 .【分析】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考查了学生对导数意义的理解，还考查直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐11.【答案】 D 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：由题意，当 时，
10、 恒成立，此时函数 在 上是增函数，有函数 在 上为减函数，不妨设 ，则 ，所以 ，即为 ，令 ，则 等价于函数 在 上是减函数，因为 ，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，即 不小于 在 内的最大值，而函数 在 内是增函数，所以 的最大值为 ，所以 ，又 ，所以实数 的取值范围是 ，【分析】先求导，判断函数 f(x)的单调性，再构造函数h(x)，并求导转化为函数恒成立，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数 a 的取值范围.12.【答案】 D 【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】【解答】由题得： 令 ，故得函数在 单调递增，在 单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需 【分析
11、】利用导数画出函数草图，结合图像只要f(-2)0.二、填空题13.【答案】 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】依题意，原式 .故填 . 【分析】本题利用复数的除法运算求值。14.【答案】【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】【解答】由题可得 ，因为函数 在 处取得极值 ，所以 且 ，解得 或 当 时， ，不符合题意；当 时， ，满足题意综上，实数 【分析】求导数，根据取极值的条件及极值的大小，列方程组，求出b和c，再进行验证即可.15.【答案】 【考点】微积分基本定理 【解析】【解答】 ， 故答案是 .【分析】根据定积分运算法则，结合微积分基本定理，即可求出相应的值.16.【
12、答案】bac 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】根据题意，设函数 ，则 .当 时， 恒成立 ，即函数 为增函数 ， ， 为增函数 故答案为 .【分析】构造函数， ， 求导数，利用导数研究函数g（x）的单调性，结合函数的单调性即可确定 a,b,c的大小关系 .三、解答题17.【答案】 （1）解：因为y= 所以切线方程为 （2）解：由题得0t8，当y=0时，0=2tx- 当x=8时， ， . .所以函数在 单调递增，在 单调递减，所以当x= 时， .此时M( 【考点】导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，即可
13、得到切线的方程； （2）求出点的坐标，表示三角形的面积，求导数，结合函数的单调性求出函数的最值，即可得到面积的最大值.18.【答案】 （1）解： 的定义域是 ， ， ， ，故函数 在 的切线方程是： ，即 ，而 ，故 ，解得： ， （2）解：由 ， ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 递减，在 递增， ，故 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）首先对函数求导，在利用导数求出 在 处 的函数值，结合导数的几何意义得出切线的斜率，列方程求出a,b的值。 （2）利用导数求闭区间上函数得最值问题，首先求出函数的极值，通过对极值和端点处的函数
14、值大小比较得出 在 上的最大值。 19.【答案】（1）证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AB平面ABD，ABBD， AB平面BCD，又CD平面BCD，ABCD（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系 AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M =（0，1，1）， =（1，1，0）， = 设平面BCM的法向量 =（x，y，z），则 ，令y=1，则x=1，z=1 =（1，1，1）设直线AD与平面MBC所成角为则sin=|cos |= = = 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角 【解
15、析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系设直线AD与平面MBC所成角为，利用线面角的计算公式sin=|cos |= 即可得出20.【答案】（1）解：依题意， ，令 ，解得 ，故 ， 故当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增； 故函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 （2）解： ，其中 ， 由题意知 在 上恒成立， ， 由（1）可知， ， ，记 ，则 ，令 ，得 当 变化时， ， 的变化情况列表如下： + 0 - 极大值 ，故 ，当且仅当 时取等号， 又 ，从而得到 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】（1
16、）本题主要考查用导数的方法来求函数的单调性，较基础；（2）先构造函数 ， 再用导数的方法求得g(x)的最小值，之后再次用导数的方法研究g(x)的最小值即可。21.【答案】 （1）解： ， 要使 在 上单调递增，则 在 上恒成立. ， ，令 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增 当x=1时， 有最小值为 ， （2）解：要证 只要证 ，两边同时除以 得： ，令 得： 所以只要证： ，令 ， ， 即 ，原不等式成立 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）根据题意有 在 上恒成立，构造函数 ， 求其最小值即可。 （
17、2）根据题意只要证 即可， 令 ， 利用其单调性即证明。22.【答案】 （1）解： 的定义域为 ， . 当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递增；当 时，令 ，得 ， .（）当 时， ，当 时， ；当 时， .所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（）当 时， ，当 时， ；当 时， .所以 在 上单调递减，在 上单调递增（2）证明：由（1）知当且仅当 时， 存在两个极值点. 因为 的两个极值点 ， 满足 ，所以 ，又 ，则 . ，令 ， ，则 .因为 ，所以 ， ，即 ，所以 在 上单调递减.因为 ，所以 ，从而 .【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】（1）本题利用求导和分类讨论的方法判断和讨论出函数的单调性。 （2）本题利用求导的方法求出函数的极值点，再利用两极值点的大小关系和不等式的结构构造出函数g(x)，最后利用函数求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而证出不等式成立