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1、课时分层训练(四十一)空间图形的基本关系与公理A组基础达标一、选择题1下列命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.A1B2C3D4B根据公理2可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据公理3可知是真命题综上，真命题的个数为2.2已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C
2、充要条件D既不充分也不必要条件A若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件3若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() 【导学号：79140226】Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交4(2018兰州实战模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA
3、1AB，AD1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()ABCDA连接AC，AB1(图略)，由长方体性质可知AB1DC1，所以AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角由题知AC2，AB1，CB12，所以由余弦定理得cosAB1C，故选A.5(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.BC.DA设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m.平面ABB1A1平面DCC
4、1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m，n所成的角与直线B1D1，CD1所成的角相等，即CD1B1为m，n所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.二、填空题6(2018湖北调考)已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为_设正六边形ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，BO，则由正六边形的性质知OCDE，SO平面ABCDEF，所以SCO为异面直线SC与DE所成角又易知BOC为等边三角形，所以SOBCCO1，所以SCO.7若平面，相交，在，内各
5、取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面1或4如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面8(2017郑州模拟)在图727中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号). 【导学号：79140227】(1)(2)(3)(4)图727(2)(4)图(1)中，直线GHMN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG(图略)，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与M
6、N异面，所以在图(2)(4)中，GH与MN异面三、解答题9.如图728所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：图728(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解(1)AM，CN不是异面直线理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1AC1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)直线D1B和CC1是异面直线理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，
7、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线10如图729所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：图729(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与
8、AD所成角的余弦值为.B组能力提升11(2018陕西质检(一)已知P是ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点若MNBC4，PA4，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A30B45C60D90A取AC中点为O，连接OM，ON，则易证OM綊BC，ON綊PA，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角由MNBC4，PA4，得OMBC2，ONAP2，则cosONM，所以ONM30，即异面直线PA与MN所成角的大小是30，故选A.12.如图7210，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦
9、值为_. 【导学号：79140228】图7210取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HFAD，所以GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)在GHF中，可求HF，GFGH，cosGFH.13如图7211，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点图7211(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.