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1、突破点15函数与方程核心知识提炼提炼1 函数yf(x)零点个数的判断(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能求解的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点.提炼2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线
2、问题高考真题回访回访已知函数零点个数，求参数的值或取值范围1(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()ABC. D1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C.法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex
3、1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C.2(2014全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(，2) B(1，)C(2，) D(，1)Af(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x时，f(x)0，注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图(1)所示图(1)不符合题意，排除B、C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所
4、示图(2)不符合题意，排除D.热点题型1函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难【例1】(1)(2017贵阳二模)已知函数f(x)当1a2时，关于x的方程ff(x)a实数解的个数为() 【导学号：04024128】A2B3C4 D5(2)已知函数f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，则函数h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6B8 C.10D12(1)C(2)D(1)因为函数f(x)1a2，作出函数f(x)的图象，令f(x)t(t0)，则f(t)a，a(1,2)，所以t(e，e2)，当t时，因为1，由f(x)t
5、可得此时有两个解；当t(e，e2)时，因为e2，由f(x)t可得此时有两个解，故关于x的方程ff(x)a实数解的个数为4，故选C.(2)函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x)和y2g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数g(x)2|x2|与f(x)的图象均关于x2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.方法指津求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象交点的横坐标其解题的关键步骤为：分
6、解为两个简单函数；在同一坐标系内作出这两个函数的图象；数交点的个数，即原函数的零点的个数提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化变式训练1 (1)(2017武汉一模)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为()A1 B2C3 D4(2)(2017南昌一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)ln xx1，则函数g(x)f(x)ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A0 B1C2 D3(1)C(2)C(1)g(x)f(1x)1当x
7、1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.(2)当x0时，f(x)ln xx1，则f(x)1，由f(x)0得x1，且x(0,1)，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)有极大值f(1)0，又奇函数的图象关于原点对称，作出函数图象如图，由图可知函数f(x)与yex的交点个数是2，则函数g(x)f(x)ex的零点个数是2，故选C.热点题型2已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求【例2】(1)(
8、2017焦作二模)已知函数f(x)F(x)f(x)x1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为()A(，0 B1，)C(，1) D(0，)(2)(2017石家庄一模)已知函数f(x)kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是() 【导学号：04024129】A(0,2) B.C(0，) D(0，e)(1)C(2)B(1)当x0时，F(x)exx1，此时有一个零点0，当x0时，F(x)xx(a1)，函数F(x)有2个零点，1a0，a1.故选C.(2)由题意，知x0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程kx0只有一个根，即方程k只有一个根，则函数g(x)与直线yk只
9、有一个交点因为g(x)，当x0时，g(x)0，当0x2时，g(x)0，当x2时，g(x)0，所以函数g(x)在(，0)上是增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，g(x)的极小值为g(2)，且x0，g(x)；x，g(x)0；x，g(x)，则g(x)的大致图象如图所示，由图易知0k，故选B.方法指津求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函
10、数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果变式训练2 (1)(2016湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是() 【导学号：04024130】A. B.C D(2)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)f(x)0，当x1,0时，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且仅有三个零点，则a的取值范围为()A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函数，则f(2x21)f(x)f(x)，又因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x只有一个零点，即2x2x10只有一个零点，则18(1)0，解得，故选C.(2)因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示：因为g(x)f(x)logax在x(0，)上有且仅有三个零点，所以yf(x)和ylogax的图象在(0，)上只有三个交点，所以解得3a5.