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1、3.2等比数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?梳理设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得Sna1a1qa1q2a1qn1.则qSna1qa1q2a1qn1a1qn.由得(1q)Sna1a1qn.当q1时，Sn.当q1时，由于a1a2an，所以Snna1.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式：S
2、n知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知数列的前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1，a9和q，用哪个公式比较合适？梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q1的情况；(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个简称为：“知三求二”类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0.反思与感悟求等比数列前n项
3、和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.命题角度2通项公式、前n项和公式的综合应用例2在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.反思与感悟(1) 在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”(2)在前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况跟踪训练2在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.类型二等比数列前n项和的实际应用例3某地投入资金进行生态
4、环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？1等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于()A. B.C. D.2设等比数列an的公比q2，前
5、n项和为Sn，则等于()A2 B4 C. D.3等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是()A179 B211 C243 D2754某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况答案精析问题导学知识点一思考比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S642641.知识点二思考(1)用Sn；(
6、2)用Sn.题型探究例1解(1)因为a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，可得q.所以S8.跟踪训练122n12解析设等比数列的公比为q，a2a420，a3a540，20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.因此Sn2n12.例2解方法一由题意知解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN.方法二若q1，则S3S232，而事实上，S3S2316，故q1.所以两式作比，得，解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN.跟踪训练2解由题意，得若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q2.此时，a3a1q22
7、(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.例3解第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800n1万元，所以每年的投入构成首项为800，公比为(1)的等比数列故n年内的总投入an800800800n14 000(万元)同理，第1年收入400万元，第2年收入400万元，第n年收入400n1万元所以每年的收入构成首项为400，公比为(1)的等比数列所以总收入bn400400400n11 600.所以n年内的总投入为4 000，n年内旅游业的总投入为1 600.跟踪训练3解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.当堂训练1C2.C3.B4.11a(1.151)