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1、用心爱心专心-1-1.3.2等比数列及其前n项和题组一等比数列的基本运算1.各项都是正数的等比数列an中，a2，12a3，a1成等差数列，则a3a4a4a5的值为 ()A.512 B.512 C.152 D.512或5 12解析：设 an 的公比为q，a1a2a3，a1a1qa1q2，即q2q10，q152，又an0，q0，q152，a3a4a4a51q5 12.答案：A 2(2009浙江高考)设等比数列 an 的公比q12，前n项和为Sn，则S4a4_.解析：a4a1(12)318a1，S4a1(1 124)112158a1，S4a415.答案：15 3(2009宁夏、海南高考)等比数列 a
2、n的公比q0.已知a2 1，an2an16an，则an的前 4 项和S4_.解析：an2an1 6an，anq2anq6an(an0)，q2q60，q 3 或q2.q0，q2，a112，a32，a44，S41212 4152.答案：152题组二等比数列的性质4.(2009 广东高考)已知等比数列 an的公比为正数，且a3a92a25，a21，则a1()用心爱心专心-2-A.12 B.22 C.2 D2 解析：a3a92a25a26，a6a52.又a2 1a12，a122.答案：B 5设等比数列 an 的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于 ()A12 B23 C34 D13解析：an
3、 为等比数列，S3，S6S3，S9S6成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，又S6S312，14S23S3(S912S3)，即34S3S9，S9S334.答案：C 6设an 是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)若数列 bn 有连续四项在集合 53，23,19,37,82中，则 6q_.解析：bnan1，anbn1，而bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，an有连续四项在集合54，24,18,36,81中an是公比为q的等比数列，|q|1.an中的连续四项为24,36，54,81，q362432，6q 9.答案：9 题组三等比数列的判断与证明7.若数列
4、 an 满足a2n1a2np(p为正常数，nN*)，则称 an为“等方比数列”甲：数列 an 是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则 ()A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件用心爱心专心-3-D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列 an 是等比数列则an1anq，可得a2n1a2nq2，则 an 为“等方比数列”当an为“等方比数列”时，则a2n1a2np(p为正常数，nN*)，当n1 时an1anp，所以此数列 an并不一定是等比数列答案：B 8设数列 an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn 2n(nN*)(1
5、)求a2，a3的值；(2)求证：数列 Sn2 是等比数列解：(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1 时，a121 2；当n2 时，a1 2a2(a1a2)4，a24；当n3 时，a1 2a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)a12a23a3nan(n1)Sn 2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an 1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn 12n(SnSn1)Sn2Sn 12nanSn2Sn 12.Sn 2Sn 120，即Sn2Sn 12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，Sn2Sn122，故Sn2 是以 4为首项，2
6、 为公比的等比数列题组四等比数列的综合应用9.(文)已知 an 是等比数列，a22，a514，则a1a2a2a3anan1 ()A16(14n)B16(1 2n)C.323(1 4n)D.323(1 2n)解析：q3a5a218，q12，a14，数列 anan1是以8 为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C.答案：C(理)在等比数列 an中，an 0(nN)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2，bnlog2an，数列 bn的前n项和为Sn，则当S11S22Snn最大时，n的值等于 ()A8 B 9 C8 或 9 D17 用心爱心专心-4-解析
7、：a1a52a3a5a2a825，a232a3a5a2525，又an 0，a3a5 5，又q(0,1)，a3a5，而a3a5 4，a34，a51，q12，a116，an16(12)n125n，bnlog2an5n，bn1bn 1，bn是以b14 为首项，1 为公差的等差数列，Snn(9n)2，Snn9n2，当n8时，Snn0；当n9 时，Snn0；当n 9时，Snn0，当n8 或 9 时，S11S22Snn最大答案：C 10(文)已知数列 an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且a12a2 22a3 2n1an8n对任意的nN*都成立，数列bn1bn 是等差数列(1)求数列 an 与bn的通
8、项公式；(2)问是否存在kN*，使得(bkak)(0,1)？请说明理由解：(1)已知a12a222a3 2n 1an8n(nN*)当n2时，a12a222a3 2n2an1 8(n1)(nN*)得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*)由题意知b18，b24，b32，b2b1 4，b3b2 2，数列 bn1bn的公差为 2(4)2，bn1bn 4(n1)2 2n6，法一：迭代法得：bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn 1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二：可用累加法，即bnbn 12n8，用心爱心专心-5-bn1bn2 2n10，
9、b3b2 2，b2b1 4，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8(n1)(42n8)2n27n14(nN*)(2)bkakk27k14 24k，设f(k)k27k14 24 k.当k4 时，f(k)(k72)274 24k单调递增且f(4)1，当k4 时，f(k)k27k1424k1.又f(1)f(2)f(3)0，不存在kN*，使得(bkak)(0,1)(理)等差数列 an 的前n项和为Sn，S424，a25，对每一个kN*，在ak与ak1之间插入 2k1个 1，得到新数列bn，其前n项和为Tn.(1)求数列 an的通项公式；(2)试问a11是数列 bn的第几项；(3)是否存在正整数m
10、，使Tm2010？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1)设an的公差为d，S44a1432d24，a2a1d5，a13，d2，an3(n1)2 2n1.(2)依题意，在a11之前插入的1 的总个数为12 22 291 210121023，1023111034，故a11是数列 bn 的第 1034 项(3)依题意，Snna1n(n1)2dn22n，an之前插入的1 的总个数为12 22 2n21 2n1122n11，故数列 bn 中，an及前面的所有项的和为n22n2n11，数列 bn 中，a11及前面的所有项的和为112 22210111662010，而 20101166844，a11与a12之间的 1 的个数为2101024 个，即在a11后加 844 个 1，其和为 2010，故存在m10348441878，使T1878 2010.