《2022年春季中考数学第五讲-图形的平移、旋转、折叠问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年春季中考数学第五讲-图形的平移、旋转、折叠问题.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题【基础回忆】考点聚焦1.明白轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、 角、等腰三角形、 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；明白平移、旋转的概念、把握平移变换、旋转变换的基本性质 ,能按要求作出简洁平面图形平移后的图形. ,懂得中心对称与旋转变换的区分. 2.把握中心对称的概念,会判定一些基本图形的中心对称性3.探究图形之间的变换关系轴对称、平移、旋转及其组合,能敏捷运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计. 考点一轴对称图形、轴对称变换例 1、如图 , 将三角形纸片ABC
2、沿 DE折叠 , 使点 A 落在 BC边上的点 F 处 , 且 DE BC,以下结论 : BDF是等腰三角形 ; DE= 1 BC;四边形 ADFE 2是菱形 ; BDF+FEC=2A. 其中肯定正确的个数是 . A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】 如图 , 分别过点D,E 作 BC的垂线 DG,EH；连接 AF,由于折叠是轴对称变换知 AF 与 DE垂直 , 由于 DE BC,所以 AF 与BC垂直 , 且 AM=MF,可以证明点D,E 分别是 AB,AC的中点 , 即 DE是 ABC的中位线 , 所以 DE= 1 BC是正确的；由于折叠是轴对称变换2知 AD=DF,AE=EF,所
3、以 DA=DB=DF,所以BDF是等腰三角形是正确的；因 DG AF EH,所以 BDG=DAM,又由于 DG是等腰三角形 BDF 的高 , 所以 BDF=2DAM,同 理 CEF = 2 EAM, 所以 BDF+FEC=2A 是正确的；如图明显四边形 ADFE不是菱形 , 是错误的【参考答案】 C 【方法归纳】 轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后, 直线两旁的部分能够互相重合 , 那么这个图形就叫做轴对称图形 , 这条直线叫做对称轴 . 轴对称图形的性质： 1 对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2 对应线段相等、对应角相等 , 对应的图形是全等图形 . 【误区提示】 折纸问题是近
4、年来中考中的热点问题, 此题奇妙的运用平行线性质、折叠全等不变性质得到三角形中位线 , 假如能顺当地判定出这一点 , 其他问题就将迎刃而解 . 在解题时不要受给出的图形影响 , 如 ABC像是等腰三角形 , 就认为ABC 就是等腰三角形 , 那样的话四边形 ADFE就是菱形了 , 造成判定上的错误 . 此外 , 轴对称图形是指一个图形 , 而轴对称变换是指两个图形之间的关系 . 考点二 中心对称图形、中心对称例 2、以下图形中 ,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 . 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路点
5、拨】 把一个图形沿着某一条直线折叠, 假如直线两旁的部分能相互重合, 那么这个图形是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180 , 假如旋转后的图形能和原图形相互重合 , 那么这个图形叫做中心对称图形. 对比定义 , 可知 A是轴对称图形 , 且有 1 条对称轴 , 但不是中心对称图形；B 是中心对称图形, 不是轴对称图形；C 是轴对称图形 , 有 1 条对称轴 ,但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形, 有 4 条对称轴【参考答案】 B 【方法归纳】假如一个图形围着中心点旋转 180 后能与自身重合 , 我们把这种图形叫做中心对称图形 . 成中心对称的两个图形的对称点的连线都
6、经过对称中心 , 并且被对称中心平分 . 【误区提示】 中心对称图形是指一个图形 , 而中心对称是指两个图形之间的关系 . 考点三 平移变换例 3、如图,在平面直角坐标系中,正三角形OAB 的顶点 B 的坐标为 2,0,点 A 在第一象限内,将OAB 沿直线 OA 的方向平移至OAB 的位置,此时点 A 的横坐标为3,就点 B 的坐标为. 【思路点拨】 作 AMx 轴于点 M.依据等边三角形的性质得OA=OB=2, AOB=60 ,在 Rt OAM中, 利用含 30 角的直角三角形的性质求出 OM=1,AM= 3 ,从而求得点 A 的坐标为 1,3 ,直线 OA的解析式为 y= 3 x, 当
7、x=3 时, y=3 3 , 所以点 A 的坐标为 3,3 3 ,所以点 A 是由点 A 向右平移 2 个单位,向上平移23 个单位后得到的,于是得点 B 的坐标为 4,2 3 . 【参考答案】 4,23 【方法归纳】 此题考查了坐标与图形变化平移,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同 . 平移中点的变化规律：横坐标右移加,左移减；纵坐标上移加,下移减. 也考查了等边三角形的性质,含 30 角的直角三角形的性质 . 求出点 A 的坐标是解题的关键 . 考点四 旋转变换例 4、在 Rt ABC中 ,BAC=90 ,B=30 ,线段 AD 是 BC边上的中线 ,如图 1,将 ADC
8、沿直线 BC平移 ,使点 D 与点 C重合 ,得到 FCE,如图 2,再将 FCE绕点 C顺时针旋转 ,设旋转角为0 90 ,连接 AF,DE1在旋转过程中 ,当 ACE=150 时 ,求旋转角 的度数；2探究旋转过程中四边形 ADEF能形成哪些特别四边形？请说明理由2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路点拨】 1 由题意分析可知此问需分两种情形争论：点 E 和点 D在直线 AC两侧； 点 E和点 D在直线 AC同侧；2 在旋转过程中 , 总是存在 AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知 ,将会显现两种对
9、角线相等的特别四边形：等腰梯形和矩形 . 抓住平移和旋转的性质 , 较易证明解： 1 在图 1 中, BAC=90 , B=30 , ACE=BAC+B=120 如图 2, 当点 E和点 D在直线 AC两侧时 , 由于 ACE=150 , =150 -120 =30 . 当点 E 和点 D在直线 AC同侧时 , 由于 ACB=180 - BAC-B=60 , DCE=ACE- ACB=150-60 =90 . =180 - DCE=90 . 旋转角 为 30 或 90 ; 2 四边形 ADEF能形成等腰梯形和矩形 BAC=90 , B=30 , AC= 1 BC2又 AD是 BC边上的中线 ,
10、 AD=DC= 1 BC=AC. ADC为正三角形2当 =60 时 , 如图 3, ACE=120 +60 =180 . CA=CE=CD=CF, 四边形 ADEF为矩形当 60 时 , ACF 120 , DCE=360 -60 -60 - ACF120 明显 DE AF AC=CF,CD=CE, 2FAC+ ACF=2CDE+DCE=180 . ACF+DCE=360 -60 -60 =240 , FAC+CDE=60 . DAF+ADE=120 +60 =180 . AF DE又 DE AF,AD=EF,四边形 ADEF为等腰梯形【方法归纳】旋转的概念：在平面内 , 将一个图形绕一个定点
11、沿某一个方向转动一个角度 , 这种图形的运动称为旋转 , 这个定点叫做旋转中心 , 转动的角度叫做旋转角 . 旋转变换的性质： 经过旋转 , 图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度 , 任意 一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 , 对应点到旋转中心的距离相等 , 旋转变 换不转变图形的外形和大小 , 是全等变换 . , 作图按三个步骤【误区提示】 打算旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度 进行： 1 在已知图形上找一些关键的点；2 画出这些关键点的对应点；3 顺次连接这些 对应点 . 考点五 图形变换的应用 例 5、如图,矩形纸片 ABCD,将 AMP 和 B
12、PQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠 APAM,点 A和点 B 都与点 E重合；再将CQD沿 DQ 折叠,点 C 落在线段 EQ 上的点 F 处. 1判定AMP, BPQ, CQD 和 FDM 中有哪几对相像三角形？2假如 AM=1,sinDMF= 3 ,求 AB 的长 . 53 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路点拨】1由矩形的性质得A=B=C=90 ,由折叠的性质和等角的余角相等,可得 BPQ=AMP= DQC,所以AMP BPQ CQD；2先证明 MD=MQ,然后依据 sin DMF=DF3DFMD=35
13、,设 DF=3x,MD=5x,再分别表示出AP,BP,BQ,依据AMP BPQ,列出MD5比例式解方程求解即可. 解：1 AMP BPQ CQD. 四边形 ABCD是矩形, A=B=C=90 . 由折叠的性质可知APM=EPM, EPQ= BPQ. APM+BPQ= EPM+EPQ=90 . APM+AMP=90 , BPQ= AMP. AMP BPQ. 同理：BPQ CQD. 依据相像的传递性可得AMP CQD；2 AD BC, DQC=MDQ. 由折叠的性质可知DQC=DQM. MDQ=DQM. MD=MQ. AM=ME,BQ=EQ,BQ=MQ-ME=MD-AM. sin DMF= DF
14、3,就设 DF=3x,MD=5x,就 BP=PA=PE= 3x ,BQ=5x-1. MD 5 2 AMP BPQ,AM AP,即 1 3 x,解得 x= 2舍去或 x=2, AB=6. BP BQ 3 x 2 92 5 x-1【方法归纳】 此题主要考查了相像三角形的判定与性质、矩形的性质、 翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用,图形的折叠是对称变换,是一种全等变换 . 【误区提示】 折叠问题要留意找正确边角的等量关系,此题求 未知数表示出一对相像三角形的对应边并列比例式 . 4 AB长时,关键是恰当的设出名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - -
15、- - - - - - 【例题讲解】1.图形的平移： 如图 1,在平面直角坐标系中,正三角形OAB 的顶点 B 的坐标为 2, 0,点A 在第一象限内, 将 OAB沿直线 OA 的方向平移至OBA的位置,此时点 A的横坐标为 3,就点 B的坐标为A4, 2 3 B3, 3 3 C4, 3 3 D3, 2 3 图 1 图 2 图 3 图 4 答案 A 思路如下：如图,当点 B 的坐标为 2, 0 ,点 A 的横坐标为 1当点 A 的横坐标为 3 时,等边三角形 AOC的边长为 6在 Rt BCD中, BC4,所以 DC2, BD 2 3 此时 B4, 2 3 2.图形的折叠： 如图 2,在矩形
16、ABCD中, AD15,点 E在边 DC 上,联结 AE, ADE沿直线 AE翻折后点 D 落到点 F,过点 F 作 FGAD,垂足为 G假如 AD3GD,那么 DE_答案3 5 思路如下：AB于 M,交 DC于 N如图,过点F 作 AD的平行线交由于 AD15,当 AD 3GD时, MFAG10,FNGD5在 Rt AMF中, AFAD15, MF10,所以 AM 5 5 设 DEm,那么 NE 5 5m ,即5 5 105m解得 m 3 5 由 AMF FNE,得AM MFFN5 5NE3.图形的旋转： 如图 3,已知 Rt ABC 中, ABC90 , AC6, BC4,将 ABC绕直角
17、顶点 C顺时针旋转90 得到DEC,假设点 F 是 DE的中点,连接AF,就 AF= 答案5思路如下：如图,作 FHAC于 H由于 F是 ED的中点,所以HF是 ECD的中位线,所以HF3由于 AEACEC642,EH2,所以 AH4所以 AF54. 三角形：如图 4, ABC DEF点 A、B 分别与点 D、E对应,AB AC5,BC6ABC固定不动,DEF运动,并满意点 E在 BC边从 B 向 C移动点 E不与 B、C重合,DE始终经过点 A,EF与 AC边交于点 M,当 AEM 是等腰三角形时,BE_5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - -
18、 - - - - - - - 答案11 6或 1思路如下：设 BEx由 ABE ECM,得AB ECEA,即65xEA5x解得 x11 6MEME等腰三角形AEM分三种情形争论：如图 2,假如 AEAM,那么AEM ABC所以EA565x解得 x0,此时 E、B 重合,舍去ME6如图 3,当 EAEM时,65xEA1解得 x 1ME如图 4,当 MAME时, MEA ABC所以EA66ME5图 2 图 3 图 4 5.四边形： 如图,矩形 ABCD中, AB 8, BC 4点 E 在边 AB 上,点 F 在边 CD 上,点 G、 H 在对角线 AC上假设四边形 EGFH是菱形,就 AE的长是A
19、 2 5 B 3 5 C5 D6 图 5 图 6 图 7 答案 C 思路如下：拖动点 E 在 AB上运动,可以体验到, 当 EF与 AC垂直时,四边形 EGFH是菱形如图 2如图 3,在 Rt ABC中, AB 8, BC 4,所以 AC 4 5由 cos BACAB AO,得 8 2 5所以 AE 5AC AE 4 5 AE图 2 图 3 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6.圆：如图 1,O 的半径为 2,AB,CD是相互垂直的两条直径,点 P 是 O 上任意一点 P与 A,B,C,D 不重合,过点 P作
20、PMAB于点 M,PN CD于点 N,点 Q 是 MN 的中点,当点 P 沿着圆周转过45 时,点 Q 走过的路径长为_A. 4B. 2C. 6D. 3答案 A 思路如下：拖动点 P 在圆周上运动一周,可以体验到,当点P 沿着圆周转过45 时,点Q走过的路径是圆心角为45 半径为 1 的一段弧如图 2,四边形 PMON是矩形,对角线 MN与 OP相互平分且相等, 因此点 Q是 OP的中点如图 3,当 DOP45 时,D Q的长为 1 821=4图 3 图 2 7.函数图像： 如图 7,直线 l 与半径为 4 的 O 相切于点 A,P 是 O 上一个动点不与点 A重合,过点 P 作 PBl,垂足
21、为 B,联结 PA设 PA x,PBy,就xy的最大值是 _答案 2 思路如下：拖动点 P在圆上运动一周,可以体验到,树丫,当 AF最大时, OF与 AF垂直如图AF的长可以表示x y,点 F 的轨迹象两叶新2如图 3, AC为 O的直径,联结PCx所以y12 x 由 ACP PAB,得AC APPA,即8 xPBy8因此xyx1x21 8x4222图 3 8所以当 x4 时, xy 最大,最大值为图 2 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【课后练习】1.如图 1,在 ABC中, AB4,BC6, B60 ,将
22、ABC沿射线 BC方向平移 2 个单位后,得到ABC,联结 AC,就 ABC的周长为 _答案 12 图 4 图 1 图 2 图 3 2.如图 2,已知在矩形 ABCD中,点 E 在边 BC上, BE2CE,将矩形沿着过点 E 的直线翻折后,点 C、D 分别落在边 BC下方的点 C、D处,且点 C、D、B 在同一条直线上,折痕与边AD 交于点 F,DF 与 BE交于点 G设 ABt,那么的代数式表示 EFG的周长为 _用含 t答案2 3t 思路如下：如图2-1 ,等边三角形EFG的高 ABt ,运算得边长为233t 图 2-1 图 3-13.如图 3,在 ABC中, ABAC5,BC4,D 为边
23、 AC上一点,且AD3,假如ABD 绕点 A 逆时针旋转,使点B 与点 C重合,点 D 旋转至 D,那么线段DD的长为答案12思路如下：如图3-1 ,由 ABC ADD ,可得 543DD 54.如图 4,正方形 ABCD的边长为 3cm,E 为 CD 边上一点, DAE30 , M 为 AE 的中点,过点 M 作直线分别与 AD、BC相交于点 P、Q假设 PQAE,就 AP 的长等于 _cm 答案 1 或 2思路如下：如图2,当 PQAE时,可证 PQ与 AE相互垂直在 Rt ADE中,由 DAE30 , AD 3,可得 AE 2 3 在 Rt APM中,由 PAM30 , AM3 ,可得
24、AP2在图 3 中, ADF30 ,当 PQDF时, DP 2,所以 AP1图 2 图 3 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形, 使它形状转变 当 B90 时,如图 5-1,测得 AC2当 B60 时,如图 5-2,AC等于A 2 ；B2；C 6 ；D 2 2 图 5-1 图 5-2 图 6 答案 A思路如下：拖动点A 围着点 B 旋转,当 B 90 时,ABC 是等腰直角三角形；当B60 时,ABC是等边三角形如图 36.如图 6,在
25、矩形 ABCD中, AD8,E是 AB 边上一点,且 AE1 AB, O 经过点 E,与边4CD所在直线相切于点 G GEB为锐角,与边 AB 所在直线相交于另一点 F,且 EG EF5 2当边 AD或 BC所在的直线与答案 12 或 4思路如下：O 相切时, AB的长是 _拖动点 B 运动,可以体验到,O的大小是确定的,O既可以与 BC相切如图 3,也可以与 AD相切如图 4如图 2,在 Rt GEH中,由 GH8,EGEF5 2,可以得到 EH4在 Rt OEH中,设 O的半径为 r ,由勾股定理,得 r 24 28 r 2解得 r 5设 AEx,那么 AB4x如图 3,当 O与 BC相切
26、时, HBr 5由 ABAE EHHB,得 4xx45解得 x3此时 AB12如图 4,当 O与 AD相切时, HAr 5由 AEAH EH,得 x54 1此时 AB4图 2 图 3 图 4 7. 如下图 , 在 Rt ABC中, C=90 , BAC=60 ,AB=8. 半径为3 的 M与射线 BA相切 , 切点为 N,且 AN=3.将 Rt ABC顺时针旋转120 后得到Rt ADE,点 B,C 的对应点分别是点D,E1 画出旋转后的Rt ADE；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 求出 Rt ADE 的
27、直角边 DE被 M截得的弦 PQ的长度；3 判定 Rt ADE的斜边 AD所在的直线与M的位置关系 , 并说明理由 . 【思路点拨】 1 点 A 不动 , 由于 BAC=60 , 因此旋转 120 后 AE与 AB 在同一条直线上；2 过点 M作 MFDE,垂足为 F. 连接 MP,构造出 Rt MPF,再通过勾股定懂得直角三角形并结 合垂径定理即可求解；3 易猜想 AD 与 M 相切 . 欲证 AD与 M 相切 , 只需 HM=NM即可 , 而 HM=NM可由 MHA MNA得到证明： 1 如图 1,Rt ADE就是旋转后的图形； 2 如图 2, 过点 M作 MFDE,垂足为 F, 连接 M
28、P在 Rt MPF中,MP= 3 ,MF=4-3=1, 由勾股定理易得 PF=2,再由垂径定理知 PQ=2PF=2 2 ；3AD 与 M相切证法一：如图 2, 过点 M作 MHAD于 H,连接 MN, MA,就 MNAE且 MN= 3 . 在 Rt AMN中,tanMN3, MAN=30 . AN3 DAE=BAC=60 , MAD=30 . MAN=MAD=30 . MH=MN由 MHA MNA或解 Rt AMH求得 MH=3,从而得 MH=MN 亦 可. AD与 M相切；证法二：如图 2, 连接 MA,ME,MD,就 S ADE=S AMD+S AME+S DME, 过 M作 MH AD于 H, MFDE于 F, 连接 MN, 就 MNAE且 MN= 3 ,MF=1, 1 AC2BC= 1 AD2MH+ 1 AE2MN+ 1 DE2MF,由此可以运算出MH= 3 . MH=MN. AD与 M相切【方法归纳】 此题综合了旋转、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、圆与直线的位置关系等有关学问 , 是一道中等偏上的题, 有肯定区分度. 其中证明圆与直线相切时通常是“ 作垂直,证半径” 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页