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1、1 2017 春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题【基础回忆】考点聚焦1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、 角、等腰三角形、 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基本性质 ,能按要求作出简单平面图形平移后的图形. 2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别. 3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计. 考点一轴对称图形、轴对称变换例 1、如图 , 将三角形纸片ABC沿 DE折叠 , 使点 A落在 BC边上的
2、点F处 , 且 DE BC,以下结论 : BDF是等腰三角形; DE=21BC;四边形 ADFE 是菱形 ; BDF+ FEC=2 A.其中一定正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】如图 , 分别过点D，E 作 BC的垂线 DG ，EH ；连接 AF,由于折叠是轴对称变换知AF 与 DE垂直 , 因为 DEBC ，所以 AF 与BC垂直 , 且 AM=MF, 可以证明点D，E分别是 AB,AC的中点 ,即 DE是ABC的中位线 , 所以 DE=21BC是正确的；由于折叠是轴对称变换知 AD=DF,AE=EF, 所以 DA=DB=DF, 所以 BDF是等腰三角形是正确
3、的；因 DG AF EH,所以 BDG= DAM, 又因为 DG是等腰三角形BDF的高 , 所以 BDF=2 DAM, 同 理 CEF = 2 EAM, 所以 BDF+ FEC=2 A 是正确的；如图显然四边形ADFE 不是菱形 , 是错误的【参考答案】C 【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后, 直线两旁的部分能够互相重合 , 那么这个图形就叫做轴对称图形, 这条直线叫做对称轴. 轴对称图形的性质： (1) 对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2) 对应线段相等、对应角相等, 对应的图形是全等图形. 【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题, 此题巧妙的运用平行线性质
4、、折叠全等不变性质得到三角形中位线, 如果能顺利地判断出这一点, 其他问题就将迎刃而解. 在解题时不要受给出的图形影响, 如 ABC像是等腰三角形, 就认为 ABC 就是等腰三角形, 那样的话四边形 ADFE就是菱形了 , 造成判断上的错误. 此外 , 轴对称图形是指一个图形, 而轴对称变换是指两个图形之间的关系. 考点二中心对称图形、中心对称例 2、以下图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 【思路点拨】 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合
5、, 那么这个图形是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能和原图形互相重合 , 那么这个图形叫做中心对称图形. 对照定义 , 可知 A是轴对称图形, 且有 1 条对称轴 , 但不是中心对称图形；B 是中心对称图形, 不是轴对称图形；C 是轴对称图形 , 有 1 条对称轴 ,但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形,有 4 条对称轴【参考答案】B 【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180后能与自身重合, 我们把这种图形叫做中心对称图形 . 成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分. 【误区提醒】中心对称图形是指一个图形, 而中
6、心对称是指两个图形之间的关系. 考点三平移变换例 3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点 B的坐标为 2，0 ，点 A 在第一象限内，将OAB沿直线 OA 的方向平移至OA B的位置，此时点 A的横坐标为3，则点 B的坐标为. 【思路点拨】作 AM x 轴于点 M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2 ， AOB=60 ，在 RtOAM 中, 利用含 30角的直角三角形的性质求出OM=1 ，AM=3，从而求得点 A的坐标为 1，3 ，直线 OA的解析式为y=3x, 当 x=3 时， y=33, 所以点 A的坐标为3，33 ，所以点 A是由点A向右平移2 个单位，向上平移23 个单
7、位后得到的，于是得点B的坐标为4,23. 【参考答案】 4,23 【方法归纳】 此题考查了坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同. 平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减. 也考查了等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质. 求出点 A的坐标是解题的关键 . 考点四旋转变换例 4、在 RtABC中 ,BAC=90,B=30 ,线段 AD 是 BC边上的中线 ,如图 1,将 ADC沿直线 BC平移 ,使点 D 与点 C重合 ,得到 FCE, 如图 2,再将 FCE绕点 C顺时针旋转 ,设旋转角为(0 90),连接 AF,DE (1)
8、在旋转过程中 ,当 ACE=150 时 ,求旋转角的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 【思路点拨】 (1) 由题意分析可知此问需分两种情况讨论：点 E和点 D在直线 AC两侧； 点 E和点 D在直线 AC同侧； (2) 在旋转过程中 , 总是存在AC=CE,DC=CE. 由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质, 较易证明解： (1) 在图 1 中, BAC=90 , B=30 , ACE
9、= BAC+ B=120如图 2, 当点 E和点 D在直线 AC两侧时 , 由于 ACE=150 , =150-120=30. 当点 E和点 D在直线 AC同侧时 , 由于 ACB=180 - BAC-B=60, DCE= ACE- ACB=150 -60 =90. =180- DCE=90 . 旋转角为30或 90; (2) 四边形 ADEF能形成等腰梯形和矩形 BAC=90 , B=30, AC=21BC 又 AD是 BC边上的中线 , AD=DC=21BC=AC. ADC为正三角形当 =60时 , 如图 3, ACE=120 +60=180. CA=CE=CD=CF, 四边形ADEF为矩
10、形当 60时 , ACF 120, DCE=360 -60 -60 - ACF 120显然 DE AF AC=CF,CD=CE, 2FAC+ ACF=2 CDE+ DCE=180 . ACF+ DCE=360 -60 -60 =240, FAC+ CDE=60 . DAF+ ADE=120 +60=180. AFDE 又 DE AF,AD=EF,四边形ADEF为等腰梯形【方法归纳】旋转的概念：在平面内, 将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度,这种图形的运动称为旋转, 这个定点叫做旋转中心, 转动的角度叫做旋转角. 旋转变换的性质： 经过旋转 ,图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相
11、同的角度, 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角, 对应点到旋转中心的距离相等, 旋转变换不改变图形的形状和大小, 是全等变换 . 【误区提醒】决定旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度, 作图按三个步骤进行： (1) 在已知图形上找一些关键的点；(2) 画出这些关键点的对应点；(3) 顺次连接这些对应点 . 考点五图形变换的应用例 5、如图，矩形纸片ABCD ，将 AMP 和 BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠 APAM ，点 A和点 B 都与点 E重合；再将CQD沿 DQ 折叠，点C 落在线段 EQ上的点 F处. 1判断 AMP， BPQ， CQD和 FDM 中有哪
12、几对相似三角形？2如果 AM=1，sinDMF=53，求 AB的长 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 【思路点拨】1由矩形的性质得A=B=C=90，由折叠的性质和等角的余角相等，可得 BPQ= AMP= DQC ，所以 AMP BPQ CQD ； 2先证明 MD=MQ，然后根据 sin DMF=53MDDFDFMD=35 ，设DF=3x，MD=5x ，再分别表示出AP ，BP，BQ ，根据 AMP BPQ ，列出比例式解方程求解即可. 解： 1 AMP BPQ CQD. 四边形ABCD 是矩形， A=B=C
13、=90. 由折叠的性质可知APM= EPM ， EPQ= BPQ. APM+ BPQ= EPM+ EPQ=90 . APM+ AMP=90 ， BPQ= AMP. AMP BPQ. 同理： BPQ CQD. 根据相似的传递性可得AMP CQD ；2 AD BC ， DQC= MDQ. 由折叠的性质可知DQC= DQM. MDQ= DQM. MD=MQ. AM=ME ，BQ=EQ ，BQ=MQ-ME=MD-AM. sin DMF=53MDDF，则设 DF=3x，MD=5x ，则 BP=PA=PE=23x，BQ=5x-1. AMP BPQ ，BQAPBPAM，即1-x52x32x31，解得 x=9
14、2舍去或x=2， AB=6. 【方法归纳】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、 翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，图形的折叠是对称变换，是一种全等变换. 【误区提醒】折叠问题要注意找正确边角的等量关系，此题求AB长时，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 【例题讲解】1.图形的平移： 如图 1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点 B的坐标为 2, 0 ，点A在第一象限内， 将 OAB沿直线 OA 的方向平移至O BA 的位置，
15、此时点 A的横坐标为3，则点 B的坐标为 A 4，2 3B 3，3 3C 4，3 3D 3，2 3图 1 图 2 图 3 图 4 答案 A 思路如下：如图，当点B的坐标为 2, 0 ，点A的横坐标为1当点A 的横坐标为3 时，等边三角形AOC的边长为6在 RtBCD中，BC4，所以DC2，BD2 3此时B(4, 2 3)2.图形的折叠：如图 2，在矩形ABCD中， AD15，点 E在边 DC上，联结 AE， ADE沿直线 AE翻折后点D 落到点 F， 过点 F 作 FGAD， 垂足为 G 如果 AD3GD， 那么 DE_答案3 5思路如下：如图，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N因为A
16、D15，当AD 3GD时，MFAG10，FNGD5在 RtAMF中，AFAD15，MF10，所以AM5 5设DEm，那么NE5 5m由AMFFNE，得AMFNMFNE，即5 55105 5m解得m3 53.图形的旋转：如图 3，已知RtABC 中， ABC90， AC6， BC4，将 ABC绕直角顶点 C顺时针旋转90得到 DEC ，假设点F是 DE的中点，连接AF，则 AF= 答案5思路如下：如图，作FHAC于H由于F是ED的中点，所以HF是ECD的中位线，所以HF3由于AEACEC642，EH2，所以AH4所以AF54. 三角形：如图 4，ABC DEF 点 A、B分别与点D、E对应，AB
17、 AC5，BC 6ABC固定不动，DEF运动，并满足点E在 BC边从 B 向 C移动点E不与 B、C重合，DE始终经过点A，EF与 AC边交于点M，当 AEM 是等腰三角形时，BE_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 答案116或 1思路如下：设BEx由ABEECM，得ABEAECME，即56EAxME等腰三角形AEM分三种情况讨论：如图 2，如果AEAM，那么AEMABC所以5566EAMEx解得x0，此时E、B重合，舍去如图 3，当EAEM时，516EAxME解得x 1如图 4，当MAME时，MEAABC所以
18、6556EAMEx解得x116图 2 图 3 图 4 5.四边形： 如图，矩形ABCD中， AB 8， BC 4点 E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点 G、 H 在对角线AC上假设四边形EGFH是菱形，则AE的长是A2 5B3 5C5 D6 图 5 图 6 图 7 答案 C 思路如下：拖动点E在AB上运动，可以体验到， 当EF与AC垂直时，四边形EGFH是菱形如图 2 如图 3，在 Rt ABC中，AB 8，BC 4，所以AC4 5由 cos BACABAOACAE，得82 54 5AE所以AE 5图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
19、 - - - -第 6 页，共 10 页7 6.圆：如图 1，O 的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是 O 上任意一点 P与 A，B，C，D 不重合，过点 P作 PMAB于点 M，PN CD于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P沿着圆周转过45时，点Q 走过的路径长为_A. 4B. 2C. 6D. 3答案 A 思路如下：拖动点P在圆周上运动一周，可以体验到，当点P沿着圆周转过45时，点Q走过的路径是圆心角为45半径为1 的一段弧如图 2， 四边形PMON是矩形，对角线MN与OP互相平分且相等， 因此点Q是OP的中点如图 3，当DOP45时，D Q的长为121=84图 2 图
20、 3 7.函数图像： 如图 7，直线 l 与半径为4 的 O 相切于点A，P是 O 上一个动点不与点A重合 ，过点 P作 PBl，垂足为 B，联结 PA 设 PA x，PBy，则(xy)的最大值是 _答案 2 思路如下：拖动点P在圆上运动一周，可以体验到，AF的长可以表示xy，点F的轨迹象两叶新树丫，当AF最大时，OF与AF垂直如图2 如图 3，AC为O的直径，联结PC由ACPPAB，得ACPAAPPB，即8xxy所以218yx 因此2211(4)288xyxxx所以当x4 时，xy最大，最大值为2图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
21、- - -第 7 页，共 10 页8 【课后练习】1.如图 1，在 ABC中， AB4，BC6， B60，将 ABC沿射线 BC方向平移 2 个单位后，得到 ABC ，联结 AC，则 A B C的周长为 _ 答案 12 图 1 图 2 图 3 图 4 2.如图 2，已知在矩形ABCD中，点 E 在边 BC上， BE 2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点 C、D 分别落在边BC下方的点C、D 处，且点 C、D 、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点 F，DF 与 BE交于点 G设 ABt，那么 EFG的周长为 _用含 t的代数式表示 答案2 3t 思路如下：如图2-1 ，等边三角形EFG
22、的高ABt，计算得边长为233t 图 2-1 图 3-13.如图 3，在 ABC中， ABAC5，BC 4，D 为边 AC上一点，且AD3，如果 ABD 绕点 A 逆时针旋转，使点B 与点 C重合，点D 旋转至 D，那么线段DD的长为答案125思路如下：如图3-1 ，由ABCADD ，可得 543DD 4.如图 4，正方形ABCD的边长为3cm，E为 CD边上一点， DAE30， M 为 AE的中点，过点 M 作直线分别与AD、 BC相交于点P、 Q 假设 PQAE， 则 AP的长等于 _cm答案 1 或 2思路如下：如图2，当PQAE时，可证PQ与AE互相垂直在 RtADE中，由DAE30，
23、AD 3，可得AE 23在 RtAPM中，由PAM30，AM3 ，可得AP2在图 3 中，ADF30，当PQDF时，DP 2，所以AP1图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 5.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变 当 B90时，如图 5-1， 测得 AC2当 B60时，如图 5-2，AC等于 (A)2 ；(B)2；(C) 6 ；(D) 22 图 5-1 图 5-2 图 6 答案 (A)思路如下：拖动点A绕着点B旋转， ，当B 90时，ABC 是等
24、腰直角三角形；当B60时，ABC是等边三角形如图3 6.如图 6，在矩形ABCD中， AD8，E是 AB 边上一点，且AE 14AB， O 经过点 E，与边CD所在直线相切于点G GEB为锐角， 与边 AB所在直线相交于另一点F， 且 EG EF 5 2当边 AD或 BC所在的直线与O 相切时， AB的长是 _答案 12或 4思路如下：拖动点 B运动，可以体验到，O的大小是确定的，O既可以与BC相切如图3 ，也可以与AD相切如图4 如图 2，在 Rt GEH中，由GH8，EGEF5 2，可以得到EH4在 RtOEH中，设O的半径为r，由勾股定理，得r242(8 r)2解得r5设AEx，那么AB
25、4x如图 3，当O与BC相切时，HBr 5由ABAEEHHB，得 4xx45解得x3此时AB12如图 4，当O与AD相切时，HAr 5由AEAHEH，得x54 1此时AB4图 2 图 3 图 4 7. 如下图 ,在 RtABC中, C=90, BAC=60 ,AB=8. 半径为3的 M与射线 BA相切 , 切点为 N,且 AN=3.将 RtABC顺时针旋转120后得到RtADE,点 B,C 的对应点分别是点D,E(1) 画出旋转后的RtADE ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 (2) 求出 RtADE 的直
26、角边DE被 M截得的弦PQ的长度；(3) 判断 RtADE的斜边 AD所在的直线与M的位置关系 , 并说明理由 . 【思路点拨】(1) 点 A 不动 , 由于 BAC=60 , 因此旋转120后 AE与 AB在同一条直线上；(2) 过点 M作 MF DE,垂足为 F. 连接 MP,构造出 RtMPF ， 再通过勾股定理解直角三角形并结合垂径定理即可求解；(3) 易猜想 AD 与 M相切 . 欲证 AD与 M相切 , 只需 HM=NM 即可 , 而HM=NM 可由 MHA MNA 得到证明： (1) 如图 1，RtADE就是旋转后的图形； (2) 如图 2, 过点 M作 MF DE,垂足为 F,
27、 连接 MP 在 RtMPF中,MP=3,MF=4-3=1, 由勾股定理易得PF=2,再由垂径定理知PQ=2PF=22；(3)AD 与 M相切证法一：如图 2, 过点 M作 MH AD于 H,连接 MN, MA,则 MN AE且 MN=3. 在 RtAMN 中,tan33ANMN， MAN=30 . DAE= BAC=60 , MAD=30 . MAN= MAD=30 . MH=MN( 由 MHA MNA或解 RtAMH求得 MH=3,从而得MH=MN 亦可). AD与 M相切；证法二：如图 2, 连接 MA,ME,MD, 则 SADE=S AMD+SAME+SDME, 过 M作 MH AD于 H, MF DE于 F, 连接 MN, 则 MN AE且 MN=3,MF=1, 21AC BC=21AD MH+21AE MN+21DEMF,由此可以计算出MH=3. MH=MN. AD与 M相切【方法归纳】 此题综合了旋转、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、圆与直线的位置关系等有关知识 , 是一道中等偏上的题, 有一定区分度. 其中证明圆与直线相切时通常是“作垂直,证半径”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页