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1、4.1 数字滤波器的基本结构表示方法NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(系统的传递函数：IIR系统：上式中的分母多项式有一项系数 为零，则在有限z平面就会出现极点，这个系统是IIR系统。FIR系统：如果全部的 都等于零，系统没有极点，这个系统是IIR系统。kaka由系统函数可得到输入与输出的常系数线性差分方程为：NkMkkkknxbknyany10)()()(这说明实现滤波从运算上看,只需三种运算： 加法、单位延迟、乘常数。分别用方框图和信号流图表示如下：方框图表示法相加单位延迟乘系数1( )x n2( )x n1( )x n2( )x n12( )( )x nx n12(
2、)( )x nx n( )x n(1)x n( )x n(1)x n( )x na( )ax n( )x n( )ax na1z1z信号流图表示法例4-1 某二阶数字滤波器的常系数差分方程为： 试画出该滤波器的结构方框图和信号流图120( )(1)(2)( )y na y na y nb x n解：)(nx( )y n1z1z1a2a0b方框图表示法信号流图表示法)(nx( )y n1z1z1a2a0b4.2 无限长单位冲激响应滤波器的基本结构和特点NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(IIR滤波器的基本结构有直接I型、直接II型、级联型和并联型。1. 直接I型由于IIR数字滤
3、波器的有理函数为：相应的常系数差分方程为：NkMkknxbknyanykk10)()()() 1( nxz1z1z1)2( nx) 1(Mnx)(Mnxb0b1b2bM 1bMa1a2aN 1aN)(ny) 1( ny) 1( Nny)(Nny)2( nyz1z1z1)(nx实现N阶差分方程的直接I型结构2.直接II型)(nxz1a1a2aN 1z1aNz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(nyz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)(nxaN 1aNz1a1a2z1将直接I型的零点和极点的级联次序互换直接II型3. 级联型先将系统函数按零、极点进行因式分解12211111111111
4、10)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (1)(NkNkMkMkNkkkMkkzdzdzczqzqzpAzazbZHkkkkkkk其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2 再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得11211121)1 ()1 ()1 ()1 ()(2211122111NkNkMkMkzzzczzzpAzHkkkkkk最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有kkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(22112211当（M=N=2）时22111
5、122111111)(zzzzAzH12211Z1Z)(nx)(ny级联型的二阶基本结构例4-3 已知描述系统的差分方程如下，试画出该系统的级联型结构。2 ( )3 (1)5 (2)9 (3)2 ( )5 (1)3 (2)y ny ny ny nx nx nx n解：12111231122531 1.5(1)( )23591 1.6441(1 0.14412.737)zzzH zzzzzzz1Z1Z1Z-1.6441-1.5-10.1441-2.737)(nx)(ny4. 并联型将H(z)展成部分分式形式:121101*111)1)(1 ()1 (1)(NkNkNMkkkkkkkkkZGZdZ
6、dZgBZcAZH其中，kkkkkGcgBA,均为实数，*kd与kd复共轭当MN时，不包含NMkkkZG0项；M=N时，该项为G。2/ ) 1(12/ ) 1(1022111100)(1)(NkNkkkkkkZHGZZZGZH1( )H z2( )H z12( )NHz并联结构例4-5 试画出系统11226( )1 32zH zzz的级联和并联结构。解：系统函数可写成1111111 324( )2(1 2) (1)(1 2)(1)zH zzzzz21Z1Z1-3)(nx)(ny(a) 级联z1z12-24)(nx)(ny(b) 并联4.3 有限长单位冲激响应滤波器的基本结构和特点有限长单位冲激
7、滤波器有以下特点：系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。系统函数H(z)在 处收敛，极点全部在z=0处，系 统始终稳定。(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但 在有些结构中也有反馈的递归部分。0z FIR滤波器实现的基本结构有横街型和级联型结构。1. 横截型(卷积型、直接型） 根据系统的函数的定义，单位冲激响应h(n)长度为N的FIR滤波器的系统函数为10( )( )NnnH zh n z由上式得FIR系统输入输出关系的差分方程为：10( )( ) ()NmH Zh m x nm1Z1Z1Zh(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)(nx)(ny(2)级联型将H
8、(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式/211201201( )( )()NNnkkknkH zh n zgzz说明：N/2表示取N/2的整数部分，如N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根，所以k2中有一个为零。 123, 3N01 11 21 1Z1Z1Z1Z1Z1Z02 12 22 20N2 1N22N)(nx)(nyFIR滤波器的级联结构例4-6 下图所示为某系统的结构图，试写该系统的系统函数。z1z1)(ny)(nx0.521.50.512121 0.52( )1 1.50.5zzH zzz4.4 数字滤波器的格型结构格型结构的优点：(1)模块化结构便于实现高速并行处理。 (2)m
9、阶格型滤波器可以产生1阶到m阶的m个横向滤波器的 输出性能。(3)对有限字长的舍入误差不灵敏。4.4.1 全零点FIR系统的格型结构 ()xn()yn0( )f n1()fn2()fn1( )Mfn0( )g n1( )g n2( )gn1( )Mgn1z1z1z1z1k1k2k1Mk2k1MkMkMk( )Mfn( )Mgn全零点FIR系统的格型滤波器结构图全零点FIR系统的格型结构单元如下图所示因此,格型基本单元的输入和输出之间的关系为：1111( )( )(1),1,2,.,( )( )(1),1,2,.,mmmmmmmmfnfnk gnmMgnk fngnmM并且有：00( )( )(
10、 )( )( )Mfngnx nfny n1( )mfn1( )mgn( )mfn( )mgnmkmk若定义 分别是由输入端到第m个基本传输单元上端和下端对应的系统函数，即：( ),( )mmBz Bz()100( )( )( )1;( )( )( )mmimmmimiFzGzBzbzBzF zGz 式中 称为m阶FIR滤波器的第i个单位冲激响应系数。()mib对上式两边作z变换111( )( )( )mmmmFzFzk z Gz111( )( )( )mmmmGzk Fzz Gz将上边两式分别除以 和 得0( )F z0( )G z111( )( )( )mmmmBzBzk z Bz111(
11、 )( )( )mmmmBzk Bzz Bz这是格型结构中从低阶到高一阶的系统函数的递推关系。2. 单位冲激响应h(n)与反射系数的关系第m-1阶基本传输单元上端对应的系统函数为：1(1)1110( )( )1( )mmimmiiFzBzbzF z 另外，可得两组递推关系：()()(1)(1)mmmmmmiimm ibkbbk b()(1)()()211mmmmmmiimm imkbbbk bk其中，i=1,2,.,(m-1)，m=2,3,M若假设M阶FIR滤波器的单位冲激响应h(n)中，h(0)=1,则系统函数0( )( )MnnH zh n z可写成：()0( )( )1( )MMiMii
12、H zBzbn z 例4-7 一个三阶FIR滤波器的系统函数为试求其格型结构。123( )1 1.8311.4320.448H zzzz 解：由系统函数的第3阶的相关系数求得第2阶的相关系数(3)(3)(3)(3)123331.831,1.432,0.448,0.448bbbkb (2)(3)(3)11322311.4891bbk bk (2)(3)(3)123 12310.76531bbk bk(2)(3)(3)11322311.4891bbk bk (2)220.7653kb因而第二阶的系统函数为：122( )1 1.4890.7653B zzz 同样可得：(1)(1)1110.8430,
13、0.8430bkb 11( )1 0.8430B zz ( )x n( )y n1z1z1z0.84300.84300.76530.76530.4480.448例4-7全零点FIR格型结构4.4.2 全极点IIR系统的格型结构M阶全极点IIR系统的系统函数为：()11( )1MMiiiH zaz其格型结构如下图所示：( )x n1z1z1z( )Mfn( )Mgn1( )Mfn1( )Mgn2( )Mfn2( )Mgn1( )f n1( )g n0( )fn0( )gn1k1k1Mk1MkMkMk全极点IIR系统的格型结构格型结构的基本单元如下图所示：1z( )mfn( )mgn1( )mfn
14、1( )mgnmkmk格型结构的基本的输入输出之间的关系为：1111( )( )(1),1,2,.,( )( )(1),1,2,.,mmmmmmmmfnfnk gnmMgnk fngnmM并且有：00( )( )( )( )( )Mfngny nfnx n()1( )( )11;( )( )( )( )1mmmmmmiiGzY zAzFzAzY za若定义：因此有：1()1( )( )11( )(),( )( )( )( )1mmmMMimmiiY zY zAzzAzH zX zFzAzaz例4-8 一个三阶IIR滤波器的系统函数为试求其格型结构。1231( )1 1.8311.4320.44
15、8H zzzz解：由系统函数得第3阶的相关系数求得第2阶的相关系数(3)(3)(3)(3)123331.831,1.432,0.448,0.448aaaka (2)(3)(3)11322311.4891aak ak (2)(3)(3)12312310.7651aak ak(2)220.765ka因而第二阶的系统函数为：122( )1 1.4890.765A zzz 同样可得：(1)(1)1110.8430,0.8430aka 11( )1 0.843A zz 11( )1 0.8430B zz ( )x n1z1z1z0.84300.84300.76530.76530.4480.448例4-8
16、全极点IIR格型结构( )y n4.4.3 零点IIR系统的格型结构N阶零点IIR系统的系统函数为：()0()01( )( )1( )NNiiiNNiiibn zH zbn z零极点IIR格型滤波器结构：( )y n( )x n( )Nfn1( )Nfn2( )Nfn1( )f n0( )fn( )Ngn1( )Ngn2( )Ngn1( )g n0( )gnMkMk1Mk1Mk1k1k1z1z1zNc1Nc2Nc1c0c零极点IIR格型滤波器结构其中 可以利用以下递推分式求得：ic()()1NNmkkmm km kcbc a 例4-9 已知滤波器的系统函数为试求其格型结构。1231231 0.
17、50.20.7( )1 1.8311.4320.448zzzH zzzz解：可求得全极点部分的相关系数(3)(3)(3)(3)123331.831,1.432,0.448,0.448aaaka (2)(2)(2)11221.489,0.765,0.765aaka (1)(1)1110.843,0.843aka 再求得ic(3)(3)(3)3322310.7,1.482cbcbc a(3)(3)(3)(1)(2)(3)1122001122330.704,0.773cbc acbc ac ac a滤波器的格型结构如下图所示：( )y n( )x n0( )gn1z1z1z0.4480.4480.7
18、650.7650.8430.8430.71.48170.70260.7719进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树
19、下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把
20、蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅