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1、专题三数列高考解答题专讲(三)数列的综合应用一、等差数列、等比数列的证明证明数列是等差(比)数列的两种基本方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；q(q是非零常数)an是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*，an0)an是等比数列【例1】(2017江西红色七校一联)已知数列an的前n项和为Sn，a12,2Sn(n1)2ann2an1，数列bn满足b11，bnbn12an.(1)求证：数列an是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)是否存在正实数，使得bn是等比数列？并说明理由 解巧造等差或等比判定方法(1)
2、判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.对点训练1(2017长春市高三质量监测)已知数列an满足a1，an13an1(nN*)(1)若数列bn满足bnan，求证：bn是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)证明：由已知得an13(nN*)，从而有bn13bn，又b1a11，所以bn是以1为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)
3、得bn3n1，从而an3n1，所以Sn133n1133n1.二、数列的通项与求和1求数列的通项公式的方法(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与Sn间关系式时适合用an求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得2求数列的前n项和的方法结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法解(1)设第一行组成的等差数列的公差是d，各列依次组成的等比数列的公比是q(q0)，则a2,3qa1,3q(12d)q(12d)6，a3,2q2a1,2q2(1d)q2(1d)8，解得d1，q2，a1,22an,222n12n.(2)bn，则Sn，则Sn，两式相减得Sn1，
4、所以Sn2.探究追问若例2(2)中bn(1)na1，n，如何求Sn?解由例题可知bn(1)nn，Sn123(1)nn设Tn，则Tn，两式相减得Tn1，所以Tn2.又123(1)nn故Sn求数列的通项及前n项和的常用方法(1)求数列通项公式的方法：基本量法、公式法、累加法、累乘法、构造法(2)求数列前n项和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法对点训练2(2017南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列an中，a12，且2a1，a3,3a2成等差数列(1)求等比数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn(n2)log2an，求数列的前n项和Tn.解(1)设数列an的公
5、比为q，2a1，a3,3a2成等差数列，2a13a22a3，即2a13a1q2a1q2，化简得2q23q20，解得q2或q.q0，q2.a12，数列an的通项公式ana1qn12n，nN*.(2)bn(n2)log2ann(n2)，Tn. 解(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知Tnxxx222.当n1时，T1.当n2时，因为x2，所以Tn2.综上可得对任意的nN*，均有Tn.对于数列与函数、方程相结合的问题，通常利用函数
6、与方程的知识，结合图形，得出关于数列相邻项an与an1之间的关系根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论对点训练3设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解热点课题13数列与不等式的综合问题 感悟体验(2017临川质检)已知数列an满足对任意的nN*，都有aaa(a1a2an)2，且an0.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，不等式Snl
7、oga(1a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围解(1)由aaa(a1a2an)2知aaa(a1a2an1)2，则a(a1a2an1)2(a1a2an)2an12(a1a2an)an1，又an0，所以a2(a1a2an)an1，则a2(a1a2an1)an(n2)，故aaanan1，所以an1an1.又aa，所以a11.又a2a1a2，所以a22，所以a2a11，即当n1时，有an1an1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)由(1)知ann，则，所以Sn，则Sn1Sn0，所以数列Sn单调递增，所以(Sn)minS1.要使不等式Snloga(1a)对任意正整数n恒成立，只要loga(1a)即可易知0aa，解得0a.所以实数a的取值范围是.