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1、专题三数列第二讲数列的通项与求和高考导航以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和2利用递推关系求数列的通项、前n项和.1(2017石家庄一模)已知正项数列an中，a11，且(n2)a(n1)aanan10，则它的通项公式为()Aan BanCan Dann解析因为(n2)a(n1)aanan10，所以(n2)an1(n1)an(an1an)0.又an为正项数列，所以(n2)an1(n1)an0，即，则当n2时，ana11.又a11也适合，an，故选B.答案B2(2016浙江卷)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1
2、Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列解析Sn表示An点到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度的一半，即Snhn|BnBn1|，因为|BnBn1|Bn1Bn2|，所以|BnBn1|的长度为定值，设锐角为，则hnh1|A1An|sin，Sn(h1|A1An|sin)|BnBn1|，Sn1(h1|A1An1|sin)|Bn1Bn2|，Sn1Sn(|AnAn1|sin)|BnBn1|，|AnAn1|，|BnBn1|为定值，所以Sn1Sn为定值，即Sn是等差
3、数列，故选A.答案A3(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.解析由题意知，解得a11，d1，Sn，2.2.答案4(2017天津卷)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d1
4、6，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，有a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述两式相减，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.得Tn4n1.所以数列a2nb2n1的前n项和为4n1.考点一求数列的通项公式数列通项公式的求法(1)公式法：由an求通项公式(2)累加法：由形如an1anf(n)(f(n)是可以求和
5、的)的递推关系求通项公式时，常用累加法(3)累乘法：由形如f(n)(f(n)是可以求积的)的递推关系求通项公式时，常用累乘法(4)构造法：由形如“an1AanB(A0且A1)”的递推关系求通项公式时，可用迭代法或构造等比数列法角度1：累加法、累乘法求数列通项解析因为an11an2n，所以当n2时，anan12n1，an1an22(n1)1，an2an32(n2)1，a2a1221，将以上各式相加，得ana1(2n1)2(n1)12(n2)1(221)2n2(n1)2(n2)22(n1)n1(n1)(n2)n1n21.又因为a12，所以ann21a1n21(n2)当n1时，a12适合上式故ann
6、21(nN*)答案ann21角度2：构造法求数列通项解析在递推公式an12an32n的两边同时除以2n1，得，所以数列是等差数列，其首项为1，公差为，所以1(n1)n，所以an(3n1)2n1.答案an(3n1)2n1探究追问若例12中的“an12an32n”改为“an12an35n”，其他条件不变，则数列an的通项公式为_解析解法一：在递推公式an12an35n的两边同时除以5n1，得，令bn，则式变为bn1bn，即bn11(bn1)，又因为b111，所以数列bn1是等比数列，其首项为，公比为，所以bn1n1，即bn1n1，所以1n11，故an5n32n1.解法二：设an1k5n12(ank
7、5n)，则an12an3k5n，与题中递推公式比较得k1，即an15n12(an5n)，所以数列an5n是首项为a153，公比为2的等比数列，则an5n32n1，故an5n32n1.答案an5n32n1求数列通项公式的两种策略(1)已知Sn与an的递推关系求通项常用两个思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.(2)已知an与an1的递推关系式求通项，通常结合关系式的特征采用累加、累乘、构造等方法 对点训练 1角度1(2017东北三校联考)若数列an满足a11，an12nan，则数列an的通项公式an
8、_.解析由an12nan，得2n，令n1,2，可得21，22，2n1(n2)，将这n1个等式叠乘得212(n1)2，故an2.又a11满足上式，故an2.答案22角度2已知数列an的前n项和是Sn，且满足Snan2n1(nN*)，则数列an的通项公式为_解析因为Snan2n1，所以当n1时，a1a121，解得a1.当n2时，Sn1an12(n1)1，所以anan1an2，即anan11，即an2(an12)，又因为a12，所以数列an2是等比数列，其首项为，公比为，所以an2n，所以an2n2.答案an2考点二求数列的前n项和数列求和的方法(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn
9、anbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如(其中an是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等(3)错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和角度1：分组求和解析由题意可知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首项
10、为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为10121123.选C.答案C角度2：裂项相消求和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.思维流程(1)(2)解(1)由an13an2an1(n2)，得an1an2(anan1)，因此数列an1an是公比为2，首项为a2a12的等比数列
11、所以当n2时，anan122n22n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n12n22)22n，当n1时，也符合，故an2n.(2)由(1)知bn，所以TnTn，得Tn221，所以Tn3.数列求和的解题策略解决数列求和问题，一般首先确定数列的通项公式，然后根据其结构形式，采取相适应的求解方法有时几种方法同时集中在一道题目中，要细致观察通项的特征，灵活应用求和方法【易错提醒】(1)用错位相减法求和时，要注意找准项数、开始的项和结束的项，不要漏项或加项(2)在错位相减后一定要注意其中各个项的结构，特别是相减后得到的和式的第一项是否可以和后续的项组成等比数列对点训练1角度1(20
12、17山东德州模拟)数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2016等于()A1008 B2016 C504 D0解析易知a1cos0，a22cos2，a30，a44，.所以数列an的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为2,4，6,8，2014,2016.故S20160(24)(68)(20142016)1008.答案A2角度2(2017济南模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)(x2)(x99)的两个零点且dS9.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为d，S9为函数
13、f(x)(x2)(x99)的两个零点且d0，S180，S189(a9a10)0，a100，0，0，0，0，0，又S1S2a2a9，则最大，故选C.答案C角度2：数列与解析几何解析令yf(x)2x2，则切线斜率kf(ai)4ai，切线方程为y2a4ai(xai)，令y0得xai1ai，由a232，得a48，a62，所以a2a4a642，故选B.答案B解析由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为a1，则378，解得a1192，所以a419224，a52412，则a4a5241236，即此人第4天和第5天共走了36里答案C(1)数列应用问题的3种类型已知函数条件，解决数列问
14、题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题(2)解决数列与数学文化交汇问题的关键一是读懂题意，即会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构造模型，即构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是求解模型，即利用所学知识求解数列的相关信息 对点训练1角度1(2017安徽淮南一模)已知an中，ann2n，且an是递增数列，则实数的取值范围是()A(2，) B2，)C(3，) D3，)解析an是递增数
15、列，nN*，an1an，(n1)2(n1)n2n，化简得(2n1)，3.故选C.答案C2角度2(2017四川绵阳模拟)已知圆的方程为x2y26x0，过点(1,2)的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是_解析如图，由x2y26x0，得(x3)2y29，圆心坐标C(3,0)，半径r3.由圆的性质可知，过点P(1,2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长|CP|2，|AB|22，即a12，a36.公差d的最大值为2.答案23角度3意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,
16、8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列则iai2的值为_解析由题意，得a1a3a1211，a2a4a1341，a3a5a2591，a4a6a38251，a8a10a21553421，a9a11a34895521，所以iai2(aiai2a)1.答案1热点课题12数列的通项与求和 感悟体验已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn