《2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学用空间向量求角和距离.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学用空间向量求角和距离.docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 98 用空间向量求角和距离一、明确复习目标1明白空间向量的概念；会建立坐标系,并用坐标来表示向量；2懂得空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离 . 二建构学问网络1求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：找出射影,求线线角；求出平面的法向量n,直线的方向向量a,设线面角为na , 就sin|cosn a| |n a|. n| |a（3）二面角：求平面角,或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；求两个法向量的夹角（或补角）. 2求距离M _a . _nN H （1）点 M 到
2、面的距离d|MN| cos（如图）就是斜线段MN 在法向量 n 方向上的正投影由n NM|n| |NM| cos|n|d得距离公式：d|n NM|n|（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量 量 NM ,再代上面距离公式 . 三、双基题目练练手n 和连接两异面直线上两点的向名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1在空间直角坐标系中,已知点P（x,y,z）,以下表达中正确的个数是（）点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x, y,z）点 P 关于 yOz 平面对
3、称点的坐标是P2（x, y, z）点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x, y,z）点 P 关于原点对称的点的坐标是P4（ x, y, z）A.3 B.2 C.1 D.0 A1B1、 A1C1 的中点,）2 直三棱柱A1B1C1ABC, BCA=90 , D 1、 F1 分别是BC=CA=CC1,就 BD1与 AF1所成角的余弦值是（A30B. 1C30D1510215103已知向量 a=（ 1,1,0）,b=（ 1,0,2）,且 kab 与 2ab 相互垂直, 就 k= _ 是4 已知A（ 3, 2, 1）、 B（ 1, 0, 4 ）,就线段AB 的中点坐标和长度分别, . 答案提示
4、： 1. C； 2. A； 3. 7 ；5 4. （2, 1,5 ）,dAB= 217四、以典例题做一做【例 1】 2005江西 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1,中, AD=AA1=1,AB=2,点E 在棱 AB 上移动 . （1）证明： D1EA1D；（2）当 E 为 AB 的中点时,求点（3）AE 等于何值时,二面角. E 到面 ACD1的距离；D 1ECD 的大小为解：以 D 为坐标原点,直线 DA,DC ,DD 1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,就 A1（1,0,1）,D 1（0,0,1）,E（1, x,0）, A（1,0,0） C（0,2,0
5、）（1）名师归纳总结 （）由于E 为 AB 的中点,就E（1,1,0）,第 2 页,共 21 页从而,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设平面 ACD 1的法向量为 不与 y 轴垂直 , 可设,就也即,得,从而,点 E 到平面 AD 1C 的距离 : （3）设平面 D 1EC 的法向量,由依题意名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - （不合,舍去） , . AE=时,二面角D1ECD 的大小为【例 2】（2005 全国）已知四棱锥底面 ABCD ,P- ABCD 的底面为直角梯形
6、, AB DC,且 PA=AD=DC = AB=1,M 是 PB 的中点；（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 . （）证明：由于 PAPD,PAAB,ADAB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,就各点坐标为A（0,0,0） B（0,2,0）,C（1,1, 0）,D（1, 0,0）, P（0,0,1）,M（0,1,zPMN_DxAByDC面C又由题设知ADDC ,且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页
7、精选学习资料 - - - - - - - - - PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD面 PCD（）解：因由此得 AC 与 PB 所成的角为（）解：设平面ACM 的法向量为,由 得：设平面 BCM 的法向量为 同上得名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结合图形可得二面角 A- MC- B 为解法 2：在 MC 上取一点 N（x,y, z）,就存在 使要使为所求二面角的平面角 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例3】如图
8、, AFDE分别是 O O1 的直径OE/ ADAD 与两圆所在的平面均垂直,AD8, BC 是 O 的直径, ABAC6, 求直线 BD 与 EF 所成的角； 求异面直线BD 和 EF 之间的距离 . AFOE 所在直线为坐解： 以 O 为原点, BC标轴,建立空间直角坐标系（如下列图）,0）,B（,0,0）, D（0,就 O（0,0,0）,A（0,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - , 8）,E（0, 0,8）, F（0,0）所以,设异面直线BD 与 EF 所成角为,就直线 BD 与 EF 所成的角为 设向量 与
9、 BD、EF 都垂直,就有,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - BD、EF 之间的距离五提炼总结以为师1. 求线线角、线面角、二面角的方法：2求点面距离,线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：同步练习 9.8 用空间向量求角和距离【挑选题】1设 OABC 是四周体, G 1 是 ABC 的重心, G 是 OG 1 上一点,且 OG=3GG 1,如 = x +y +z,就（ x,y,z）为（）A（,）B（,）C（,）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - -
10、 - - - D（,）2在正方体AC1 中, E、F 分别为 D1C1 与 AB 的中点,就A1B1 与截面 A1ECF 所成的角为 AarctanBarccosCarcsinD都不对【填空题】3. 已知空间三点A（ 1,1,1）、B（ 1,0, 4）、C（2, 2,3）,就,与的夹角 的大小是 _. 4二面角 的平面角为120 , A、 BAC,BD,AC,BD,如 ABACBD,就 CD 的长为 答案提示 ：1. A; 2. A; 3.120 ; 4. 2【解答题】5. 设 A（2,3,1 ）,B（4,1,2 ）,C（6,3, ）,D（ , 4,8 ）,求 D 到平面 ABC 的 距离 .
11、 解： A（2,3,1 ）,B（4,1,2 ）,C（6,3, ）,D（ , 4,8 ）,平面ABC; 的法向量= （x,y ,z ） ,就设=0,=0,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即令 z=2,就=（3,2,2）由点到平面的距离公式：=. 点 D 到平面 ABC 的距离为 . AB=6（2004 浙江文）如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面相互垂直,AF=1,M 是线段 EF 的中点 . （）求证AM 平面 BDE；（）求证AM平面 BDF ；（）求二面角ADF B 的大小；解: （）建立如
12、下列图的空间直角坐标系. 设,连接 NE,就点 N、E 的坐标分别是（、（0,0,1 ）, 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - =, 又点 A、M 的坐标分别是、（. =（ =平面 BDE ,且与 AM 不共线, NE AM. 又平面 BDE,AM 平面 BDF . （）名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - （） AF AB,ABAD, AFAD=A,AB平面 ADF . 7. （2004 全国 河北）如下图,已知四棱锥PABCD ,PB
13、AD,侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形, 底面 ABCD 为菱形, 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 .（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小 . 解（ 1）：如下图,作 PO平面 ABCD ,垂足为点 O. 连结 OB、OA、OD,OB 与 AD交于点 E,连结 PE. ADPB, ADOB. PA=PD, OA=OD . 于是 OB 平分 AD,点 E 为 AD 的中点,PEAD. 由此知 PEB 为面 PAD 与面 ABCD所成二面角的平面角, PEB=120 , PEO=60 . 由已知可求得 PE=,
14、名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - PO=PEsin60 =,即点 P 到平面ABCD 的距离为 . （2）解法一：如下图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点, x 轴平行于 DA. P（0,0,）,B（0,0）,PB 中点 G 的坐标为（ 0,）,连结 AG. 又知 A（1,0）,C（ 2,0）. 由此得到 = （1,）,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - =（0,）,=（2,0,0）. 于是有=0,=0,. ,的夹角 等于所求二面角的
15、平面角. 于是 cos =,所求二面角的大小为 arccos. 解法二：如下图,取 PB 的中点 G,PC 的中点 F,连结 EG、AG、GF,就 AGPB,FG BC, FG= BC. 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - ADPB, BCPB, FGPB. AGF 是所求二面角的平面角 . AD面 POB, ADEG. 又 PE=BE, EGPB,且 PEG=60 .在 Rt PEG 中, EG=PE cos60 =,在Rt GAE中 , AE=AD=1 , 于 是tanGAE= . 又 AGF= GAE ,所求
16、二面角的大小为 arctan. 8. 如图,已知四边形ABCD 、EADM 和 MDCF 都是边长为a 的正方形,点P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点MFE名师归纳总结 求：（1）与所成APDQBC的角；第 16 页,共 21 页（2）P 点到平面 EFB 的距离；（3）异面直线PM 与 FQ 的距离- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：建立空间直角坐标系,就 D（0,0,0）、A（a,0,0）、B（a,a,0）、C（0,a,0）、M（0,0,a）、E（a,0,a）、F（ 0,a,a）,就 由 中 点 坐 标 公 式 得P （,0,）、 Q（,0
17、）（1）=（,0,）,=（, a）,= +0+ a= a2,且|= a,|= a. 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos, =. 故得两向量所成的角为 150（2）设 =（ x,y,z）是平面 EFB 的法向量,即 平 面EFB , ,. 又=（ a, a,0）, = （0,a, a）,即有,名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 取,就. = （,0,）. 设所求距离为d,就= a. （3）设 =（ x1, y1,1）是两异面直线的
18、公垂线的方向向量,就由=（,0,）,=（, a）,得 , 而 = （0,a,0）所求距离名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - = a. 9在 60 的二面角的棱上,有 A、B 两点, 线段 AC、BD 分别在二面角的两个面内,且都垂直于 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8. 求 CD 的长度；求 CD 与平面 所成的角解：由于,故有,CAAB,BD AB,. 名师归纳总结 （ 2 ） 过C 作CE 平面 于E , 连接AE 、 CE 在 ACE 中 , CE=6sin60 第 20 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =3,连接 DE ,就 CDE 就是 CD 与平面 所成角；名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页