《2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学用空间向量求角和距离 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学用空间向量求角和距离 2.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、98 用空间向量求角和距离一、明确复习目标1了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；2理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离. 二建构知识网络1求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：找出射影，求线线角；求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面角为, 则|cos,| | |n asinn ana. （3）二面角：求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；求两个法向量的夹角（或补角）. 2求距离（1）点 M 到面的距离|cosdMN（如图）就是斜线段MN 在法向量n方向上的正投影. 由| | c
2、os|n NMnNMnd得距离公式：|n NMdn（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量n和连接两异面直线上两点的向量NM，再代上面距离公式. 三、双基题目练练手_ a _nN M H a n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页1在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z） ，下列叙述中正确的个数是（）点 P 关于 x 轴对称点的坐标是P1（x， y，z）点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是P2（x， y， z）点 P 关于 y 轴对称点的坐标是P3（x，
3、y，z）点 P 关于原点对称的点的坐标是P4（ x， y， z）A.3 B.2 C.1 D.0 2直三棱柱A1B1C1ABC， BCA=90， D1、 F1分别是A1B1、 A1C1的中点，BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（）A1030B. 21C1530D10153已知向量 a=（ 1，1，0） ，b=（ 1，0，2） ，且 kab 与 2ab 互相垂直， 则 k=_ 4已知A（ 3， 2， 1） 、 B（ 1， 0， 4） ，则线段AB 的中点坐标和长度分别是， . 答案提示： 1. C； 2. A； 3. 57； 4. （2， 1，25） ，dAB=17四、以典例
4、题做一做【例 1】 (2005江西 ) 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中， AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱 AB 上移动 . （1）证明： D1EA1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点E 到面 ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D1ECD 的大小为. 解：以 D 为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1（1，0，1） ，D1（0，0，1） ，E（1， x，0） ， A（1，0，0） C（0，2，0）（1）（）因为E 为 AB 的中点，则E（1，1，0） ，从而，精选学习资料 - - - - - -
5、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页设平面 ACD1的法向量为不与 y 轴垂直 , 可设，则也即，得，从而，点 E 到平面 AD1C 的距离 : （3）设平面 D1EC 的法向量，由依题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页（不合，舍去） ， . AE=时，二面角D1ECD 的大小为【例 2】（2005 全国）已知四棱锥P- ABCD 的底面为直角梯形， AB DC，底面 ABCD，且 PA=AD=DC=AB=1， M 是 PB的中点。（）证明：面PAD面 PCD；（）求AC
6、 与 PB 所成的角；（）求面AMC 与面 BMC 所成二面角的大小. （）证明：因为PAPD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0） B（0，2，0） ，C（1，1， 0） ，D（1， 0，0） ，P（0，0，1） ，M（0，1，又由题设知ADDC，且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得DC面NMBA_DCyxPz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页PAD. 又 DC 在面 PCD 上，故面PAD面 PCD（）解：因由此
7、得 AC 与 PB 所成的角为（）解：设平面ACM 的法向量为，由得：设平面 BCM 的法向量为同上得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页结合图形可得二面角A- MC- B 为解法 2：在 MC 上取一点N（x，y， z） ，则存在使要使为所求二面角的平面角. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页【例3】如图，AFDE分别是 O O1的直径AD 与两圆所在的平面均垂直，AD8, BC 是 O 的直径， ABAC6，OE/ AD( ) 求直线
8、BD 与 EF 所成的角；( ) 求异面直线BD 和 EF 之间的距离 . 解：( ) 以 O 为原点， BCAFOE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0） ，A（0，0） ，B（，0，0）, D（0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页， 8） ，E（0， 0，8） ，F（0，0）所以，设异面直线BD 与 EF 所成角为，则直线 BD 与 EF 所成的角为( ) 设向量与 BD、EF 都垂直，则有，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
9、- -第 8 页，共 21 页 BD、EF 之间的距离五提炼总结以为师1. 求线线角、线面角、二面角的方法：2求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：同步练习9.8 用空间向量求角和距离【选择题】1设OABC 是四面体， G1是 ABC 的重心， G 是 OG1上一点，且OG=3GG1，若 = x+y+z，则（ x，y，z）为（）A（，）B（，）C（，）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页D（，）2在正方体AC1中， E、F 分别为 D1C1与 AB 的中点，则A1B1与截面 A1ECF 所成的角为 (
10、 ) AarctanBarccosCarcsinD都不对【填空题】3. 已知空间三点A（1，1，1） 、B（ 1，0， 4） 、C（2， 2，3） ，则与的夹角 的大小是 _. 4二面角 的平面角为120， A、 B，AC，BD，AC，BD，若 ABACBD，则 CD 的长为答案提示：1. A; 2. A; 3.120; 4. 2【解答题】5. 设 A（2,3,1 ） ，B（4,1,2 ） ，C（6,3, ） ，D（ , 4,8 ） ，求 D 到平面 ABC 的距离 . 解： A（2,3,1 ） ，B（4,1,2 ） ，C（6,3, ） ，D（ , 4,8 ） ，; 设平面ABC的法向量= （
11、x，y ，z ） ，则=0，=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页即令 z=2，则=（3，2，2）由点到平面的距离公式：=. 点 D 到平面 ABC 的距离为. 6 （2004 浙江文）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M 是线段 EF 的中点 . （）求证AM平面 BDE；（）求证AM平面 BDF ；（）求二面角ADF B 的大小；解: （）建立如图所示的空间直角坐标系. 设，连接 NE，则点 N、E 的坐标分别是（、 （0,0,1 ）, 精选学习资料 - - -
12、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页=(, 又点 A、M 的坐标分别是、 （. =（ =且与 AM 不共线， NE AM. 又平面 BDE ，平面 BDE，AM平面 BDF . （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页（） AFAB，ABAD， AFAD=A，AB平面 ADF . 7. （2004 全国河北）如下图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面 P AD 为边长等于 2 的正三角形， 底面 ABCD 为菱形， 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面
13、角为120.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小. 解（ 1） ：如下图，作PO平面 ABCD ，垂足为点O. 连结 OB、OA、OD，OB 与 AD交于点 E，连结 PE. ADPB， ADOB. PA=PD， OA=OD. 于是 OB 平分 AD， 点 E 为 AD 的中点，PEAD. 由此知 PEB 为面 PAD 与面 ABCD所成二面角的平面角， PEB=120， PEO=60. 由已知可求得 PE=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页PO=PEsi
14、n60=， 即点 P到平面ABCD 的距离为. （2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于DA. P（0，0，） ，B（0，0） ，PB 中点 G 的坐标为（ 0，） ，连结 AG. 又知 A（1，0） ，C（ 2，0）. 由此得到 = （1，） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页 =（0，） ，=（2，0，0）. 于是有=0，=0，. ，的夹角 等于所求二面角的平面角. 于是 cos=，所求二面角的大小为arccos. 解法二：如下图，取PB 的中点 G，PC 的中点 F，连结 E
15、G、AG、GF，则 AGPB，FGBC， FG=BC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页ADPB， BCPB， FGPB. AGF 是所求二面角的平面角. AD面 POB， ADEG. 又 PE=BE， EGPB，且 PEG=60.在 RtPEG 中， EG=PEcos60=，在RtGAE中 ， AE=AD=1 ， 于 是tanGAE= . 又 AGF= GAE，所求二面角的大小为arctan. 8. 如图，已知四边形ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为a的正方形，点P、Q 分别是 ED 和 AC 的中
16、点求： （1）与所成的角；（2）P 点到平面EFB 的距离；（3）异面直线PM 与 FQ 的距离QFMEDCBAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页解：建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0） 、A（a，0，0） 、B（a，a，0） 、C（0，a，0） 、M（0，0，a） 、E（a，0，a） 、F（ 0，a，a） ，则 由 中 点 坐 标 公 式 得P （,0,）、Q（,0 ）（1） = （， 0，） ，=（， a） ，=() +0+( a)= a2，且|= a，|= a. 精选学习资料 - - - - - -
17、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页cos， =. 故得两向量所成的角为150（2）设=（ x，y，z）是平面EFB 的法向量，即 平 面EFB ， ，. 又=（ a， a，0） ， = （0，a， a） ，即有，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页取，则. = （，0，）. 设所求距离为d，则= a. （3）设=（ x1， y1，1）是两异面直线的公垂线的方向向量，则由=（，0，） ，=（， a） ，得, 而 = （0，a，0）所求距离精选学习资料 - - - - - -
18、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页=a. 9在 60的二面角的棱上，有 A、B 两点， 线段 AC、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知 AB=4，AC=6，BD=8. 求 CD 的长度；求 CD 与平面所成的角解：因为，故有，CAAB，BD AB，. （ 2） 过C 作CE 平面 于E， 连接AE、 CE 在 ACE 中 ， CE=6sin60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页=3，连接 DE ，则 CDE 就是 CD 与平面 所成角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页