2022年求通项公式和数列求和的常用方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料求递推数列通项公式的常用方法一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有a nS nS n1n2,等差数列或等比数列的通项公式；例一已知无穷数列1an的前 n 项和为S ,并且a nS n1 naN*,求an的通项公式？【解析】：S na ,a n1S n1S na na n1,n11a ,又a 11,22a n1n. an与S n的关系：a 1S ,a nS nS n1n2与提设条件,建立递推关系,是此题2反思：利用相关数列求解的关键 . 跟踪训练 1.已知数列 a n 的前 n 项和 S ,满意关系

2、n lg S n 1n n 1,2 .试证数列 a n 是等比数列 . 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳推测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性,这种方法叫归纳法 . 例二 已知数列 a n 中,a 1 1,a n 2 a n 1 1 n 2,求数列 a n 的通项公式 . 【解析】：a 1 1,a n 2 a n 1 1 n 2,a 2 2 a 1 1 3,a 3 2 a 2 1 7推测 a n 2 n 1 n N *,再用数学归纳法证明 .（略）反思：用归纳法求递推数列,第一要熟识一般数列的通项公式,再就是肯定要用数学归纳法证明其正确性 . 跟踪训练 2.设 a n 是正数组

3、成的数列,其前 n项和为 S ,并且对于全部自然数 n ,a 与 1 的等差中项等于 S n与 1 的等比中项,求数列 a n 的通项公式 . 三 累 加 法 ： 利 用 a n a 1 a 2 a 1 a n a n 1 求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 加 法 ； 累 加 法 是 求 型 如a n 1 a n f n 的递推数列通项公式的基本方法（f n 可求前 n 项和） . n例三 已知无穷数列 a n 的的通项公式是 a n 1,如数列 b n 满意 b 1 1, n 1,求数列 b n 的通项2公式 . 名师归纳总结 【解析】：b 11 ,b n1b n1nn1,b nb

4、 1 b 21b 1b nb n1=1+1 2+ 第 1 页,共 10 页21n1=21n1. 22a na nf n . 反思 :用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料n跟踪训练 3.已知 a 1 1, a n 1 a n 1 n N * ,求数列 a n 通项公式 . 2 2四 累乘法 :利用恒等式 a n a 1 a 2 a 3 a n a n 0, n 2 求通项公式的方法称为累乘法 ,累乘法是求型如 : a a 2 a n 1a n 1 g n a n 的递推数列通项公式的基本方法 数列

5、 g n 可求前 n 项积 . 例四 已知 a 1 1 , a n n a n 1 a n n N * ,求数列 a n 通项公式 . 【解析】：a n n a n 1 a n , a n 1 n 1,又有 a n a 1 a 2 a 3 a n a n 0, n 2 = a n n a a 2 a n 1123n= n ,当 n 1 时 a 1 1,满意 a n n ,a n n . 1 2 n-1反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 a n 1 g n a . 跟踪训练 4.已知数列 a n 满意 a 1 1 , a n a 1 2 a 2 3 a 3 n 1 a n 1

6、n 2 .就 a n 的通项公式是 . 五 构造新数列 : 类型 1 a n 1 a n f n 解法：把原递推公式转化为 a n 1 a n f n ,利用累加法 逐差相加法 求解；例 1:已知数列 a n 满意 a 1 1,a n 1 a n 2 1,求 a；2 n n解：由条件知：a n 1 a n 2 1 1 1 1n n n n 1 n n 1分别令 n 1 2, 3, , , n 1 ,代入上式得 n 1 个等式累加之, 即 a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 a n a n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 an a 1 12 2 3 3 4 n 1 n

7、n1 1 1 3 1a 1,a n 12 2 n 2 n类型 2 a n 1 f n a n解法：把原递推公式转化为 a n 1 f n ,利用累乘法 逐商相乘法 求解；a n例 2:已知数列 a n 满意 a 1 2,a n 1 na n,求 a ；3 n 1解 ： 由 条 件 知 a n 1 n, 分 别 令 n ,1 ,2 ,3 , n 1, 代 入 上 式 得 n 1 个 等 式 累 乘 之 , 即a n n 1a 2 a 3 a 4 a n 1 2 3 n 1 an 1a 1 a 2 a 3 a n 1 2 3 4 n a 1 n又 1a 2,an 23 3 n名师归纳总结 第 2

8、页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料例 3:已知 1a 3,a n 1 3 n 1 a n n 1 ,求 a ；3 n 2解：an 3 n 1 1 3 n 2 1 3 2 1 3 1a 13 n 1 2 3 n 2 2 3 2 2 3 23 n 4 3 n 7 5 2 633 n 1 3 n 4 8 5 3 n 1；变式 :（2004,全国 I,）已知数列 an ,满意 a1=1,a n a 1 2 a 2 3 a 3 n 1 a n 1 n 2,就 an 的通项 a n 1 n 1_ n 2解：由已知,得 a n 1

9、a 1 2 a 2 3 a 3 n 1 a n 1 na n,用此式减去已知式,得当 n 2 时,a n 1 a n na n,即 a n 1 n 1 a n,又 a 2 a 1 1,a 1 1 , a 2 ,1 a 3 3 , a 4 4 , , a n n,将以上 n 个式子相乘,得 a n n .n 2 a 1 a 2 a 3 a n 1 2类型 3 a n 1 pa n q（其中 p, q 均为常数, pq p 1 0 ）；解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：a n 1 t p a n t ,其中 t q,再利用换元法转化为等比数列求解；1 p例 4:已知数列 a n 中,a 1

10、 1,a n 1 2 a n 3,求 a . 解 ： 设 递 推 公 式 a n 1 2 a n 3 可 以 转 化 为 a n 1 t 2 a n t 即 a n 1 2 a n t t 3 . 故 递 推 公 式 为b n 1 a n 1 3a n 1 3 2 a n 3 ,令 b n a n 3,就 b 1 a 1 3 4 ,且 2 .所以 b n 是以 1b 4 为首项, 2 为公比的等b n a n 3n 1 n 1 n 1比数列,就 b n 4 2 2 ,所以 a n 2 3 . 变式 :（ 2006,重庆 ,文,14）在数列a n中,如a 11,a n12 a n3 n1,就该数

11、列的通项a n_ 1pa nrqn,其中 p,q, r 均为常（key:an2n13）qn（其中 p,q 均为常数,pqp1 q1 0）；（或a n类型 4 a n1pa n数） ；解法：一般地,要先在原递推公式两边同除以1anqn1,得：an1pan1引入帮助数列b n（其中bnan）,得：nqn1qqnqqnb n1pb n1再待定系数法解决；11,求qqa ；例 5:已知数列an中,a15,an1632第 3 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料a n,方程x2pxq0,叫做数列an解：在a n11an

12、1n1两边乘以2n1得：2n1an122nan1323令b n2nan,就b n12bn1,解之得：bn32 2n33所以anb n31n21n2n232给出的数列类型 5 递推公式为a n2pan1qan（其中 p, q 均为常数）；解 特点根法 ：对于由递推公式an2pa n1qa n,a 1,a的特点方程；如x 1, x2是特点方程的两个根, a 2打算（即把a 1,a2,x 1,x 2和n,1,12,当x 1x2时,数列a n的通项为ann Ax 11n Bx 21,其中 A , B 由a 1n代入a nn Ax 11n Bx 21,得到关于A、 B 的方程组）；,a 2打算（即把a

13、1,a2,x 1,x2和2,代当x 1x 2时,数列an的通项为a nABn n x 11,其中 A ,B 由a 1入a nABn n x 11,得到关于A、 B 的方程组）；b,求a n例 6: 数列an：3 an25 an12 an0 n0 ,nN,a 1a ,a2解（特点根法） ：的特点方程是：3x25x20；x 1,1x22, 3ann Ax 11n Bx 21AB2n1；又由a 1a ,a 2b,于是3aABBA3 b2 a故an3 b2 a3 ab2n12bAB3 ab的通项公式；n2或 与33练习 :已知数列an中,a 11,a22,a n22an11an,求a ；33key a

14、n731n1；443变式 :（ 2006,福建 ,文,22）已知数列a n满意a 11,a 23,a n23 a n12 a nN*.求数列a n（I ）解：a na na n1a n1a n2.a 2a 1a 1n 21n 22.21fa nfa n1消 去S nn 21 nN*.类型 6 递推公式为S 与a 的关系式； 或S nf a n 解法： 利用a nS 1S n1n1 与a nS nS n1S nn2 S nfS nS n1n2 消去a进行求解；第 4 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料例 7：

15、数列a n前 n 项和S n4an212.（1）求an1与a 的关系；（ 2）求通项公式a . n解：（1）由S n4an212得：S n14a n1211nn于是S n1S nanan1212211nn所以an1anan111a n11an1. 2n22npqp1 q1 0）的方法,上式两边同乘以2n1得：（ 2）应用类型4（a n1pa nqn（其中p, q 均为常数,n 21a n12nan2是 以2为 首 项 , 2为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以由a1S 14a 1212a11. 于 是 数 列2na n1n 2an22 n12 nan2n1n数列求和的常用方法数列求和是数

16、列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象；数列求和的基本思路是,抓通项,找规律,套方法；下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n1 2n1S 37,且a 133, ,a 34构1、 等差数列求和公式：S nna 12anna 1nn1 d22、等比数列求和公式：S nna 1qna 1a nqq1a 1 1q11q1q3、S nkn1k1n n1 4、S nkn1k21n265、S nkn1k31 n2n1 2S 为数列 a n的前 n 项和已知例 1（07 高考山东文18）设 a n是公比

17、大于1 的等比数列,成等差数列（1）求数列 a n的等差数列的前 n 项和 T q第 5 页,共 10 页（2）令b nlna 3n1,n1 2, ,求数列 b na 1a 2a 37,解得a 22解：（1）由已知得:a 132a343 a2.设数列 a n的公比为 q ,由a 22,可得a 12,a32q名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又S 3名师精编,优秀资料7,可知2 q22q7,即2 2 q5 q20解得q 12,q21由题意得q1,q22a 11故数列 a n的通项为a n2n1（2）由于b nlna 3n1,n1 2, ,由

18、（ 1）得a 3n13 2nb n3 ln 2n3 ln 2,又b n1b n3ln 2nb n是等差数列T nb 1b 2b nn b 1b n2n 3ln 23ln 223 n n21ln 2.fnnS nS n1的最大值 . 故T n3 n n1 ln 22练习：设 Sn 1+2+3+ +n, nN *, 求32二、错位相减法设数列an的等比数列,数列b n是等差数列,就数列a nb n的前 n 项和S 求解,均可用错位相减法；a n的 通 项 公 式 为例 2（ 07 高考天津）在数列a n中,a 12,a n1a nn12n 2 nN,其中0 （）求数列a n的通项公式；（）求数列a

19、 n的前 n 项和S ；（）解：由a n1a nn12n 2 nN,0 ,可得a n12n1a n2n1,n1n所 以an2n为 等 差 数 列 , 其 公 差 为1 , 首 项 为0 , 故an2nn1, 所 以 数 列nn第 6 页,共 10 页a nn1nn 2（）解：设T n22334 n2n1n1n,T n32435n2n n1n1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料1,21,a 3b 521,a 5b 313当1时,式减去式,2n1得1 T n23nn1n11n1nT n2n1n11n1n1n2nn12121 2

20、n1这时数列a n的前 n 项和S nn1n2nn122 n1212当1时,T nn n1这时数列a n的前 n 项和S nn n1222a 1b 1例 3（ 07 高考全国文21）设 a n是等差数列, b n是各项都为正数的等比数列,且（）求 a n, b n的通项公式；q421,（）求数列an的前 n 项和S nb n解：（）设a n的公差为 d ,b n的公比为 q ,就依题意有q0且12 d14 dq213,解得d2,q2所以a n1 n1 d2 n1,nbqn1n 21（）a n2n11b nn 2S n1352n232 n1,1 2222n2n12S n2352 n32n21,2

21、2n32n得S n2222222n11,222n 2n 2221112122n11222n2n221112 n11n 211n 2262n32n1三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 设函数fx2x2x2的图象上有两点名师精编优秀资料OP1OP 1OP 2, 且点 P的横坐标为1 . 2P1x1, y1 、P2x2, y2 ,如2（I ）求证： P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值；（II ）如S nf1f2f3fn,nN*,求S n

22、;f1f1nnnn（I ）OP1OP 1OP 2, 且点 P 的横坐标为1 . 22P 是P P2的中点,且x 1x21y 1y222 x 1x1222 x 2x222x 12x2222x22x 122x2442x22x12x22x 1122yp1由（ I ）知,x 1x21fx 1fx21,且f122又S nff1ff2fn1ffn21,（1） +（ 2）得：nnnnS nnn1f21nnnn2 Snf1f1fnn1f2fnn2fnnnnn2f11 11n32 2Snn322 2四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,

23、使之能消去一些第 8 页,共 10 页项,最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（1）a nn11 1n11nn（2）an2n2n 21 111121 11 2 n22 nn（3）annn1n2 1n11n1n2等；1 2n1 例 5 求数列112,213,n1n1,的前 n 项和 . 解：设a nn1n1n1n（裂项）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料就 Sn 1 1 1（裂项求和）1 2 2 3 n n 1 2 1 3 2 n 1 n n 1 1例 6（ 06 高考湖北）已知二次函数 y f x 的图像经过坐

24、标原点,其导函数为 f 6 x 2,数列 a n 的前 n 项和为 S ,点 n , n S n n N 均在函数 y f x 的图像上；（）求数列 a n 的通项公式；（）设 b n 1,T 是数列 b n 的前 n 项和,求使得 T n m对全部 n N 都成立的最小正整数 m；a a n 1 20解：（）设这二次函数 fx ax 2+bx a 0 , 就 fx=2ax+b, 由于 fx=6x 2, 得a=3 , b=2, 所以 fx 3x 22x. 又由于点 , n S n n N 均在函数 y f x 的图像上,所以 S 3n 22n. 2当 n2 时, anSn Sn 1（ 3n 2

25、2n）（n 1 2 n 1 6n5. 当 n1 时, a1S13 1 2 26 1 5,所以, an 6n 5 （ n N）（）由（）得知 b n 331 1 1 ,a n a n 1 6 n 5 6 n 1 5 2 6 n 5 6 n 1故 Tnnib11 1 1 1 . 1 1 1 （11） . i 1 2 7 7 13 6 n 5 6 n 1 2 6 n 1因此, 要使 1 （11） m （ n N）成立的 m,必需且仅须满意 1 m ,即 m10,所以满意要求的最小正整数 m为 10. 2 6 n 1 20 2 20评 析 ： 一 般 地 , 如 数 列 a n 为 等 差 数 列 ,

26、 且 公 差 不 为 0 , 首 项 也 不 为 0 , 就 求 和 ：n 1 首 先 考 虑i 1 a ia i 1n1 n1 1 1 就 n1 = 1 1 1 n；以下求和：n1 也可用裂项求和法；i 1 a ia i 1 i 1 d a i a i 1 i 1 a ia i 1 d a 1 a n 1 a 1 a n 1 i 1 a i a i 1五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并；名师归纳总结 例 7 数列 an 的前 n 项和S n2a n1,数列 bn 满b

27、1,3b n1a nb nnN . 第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料12n12 nn 综上所述,（）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前 n 项和 Tn；解析：（）由Sn2an,1nN,Sn12 an11,两式相减得：an12an12 an,an12a n,nN. 同a 11 知an0,an12,同定义知a n是首项为 1,公比为 2 的等比数列 . an（）an2n1,bn12n1bnbn1bn2n1,b2b 120,b3b221,b4b322,bnbn12n2,等式左、右两边分别相加得：b nb 120212n23112n12n1,22T n2021 22 222 2n12 201 2222n=12n2nn 22n1.1212 n例 8 求S2 1222 342n 11n2（ nN）解：当 n 为偶数时,S2 12 2 2 32 4 n2 1n212nn1n；2当 n 为奇数时,S2 12 2 322 4 n22 n2 1 2 n12n1n2n n22S 1 n 1 1 n n 1 2点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成如干个可以求和的数列, 分别求和 . 第 10 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -